Мади «Автоматизированные системы управления»

3.2.1. Нечеткие множества 
Главное отличие теории нечетких множеств от классической 
теории четких множеств состоит в том, что если для четких множеств 
результатом вычисления характеристической функции могут быть 
только два значения – 0 или 1, то для нечетких множеств это 
количество бесконечно, но ограничено диапазоном от нуля до 
единицы.
Нечеткое множество 
Пусть U – так называемое универсальное множество, из элементов 
которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в 
данном классе задач, например множество всех целых чисел, 
множество всех гладких функций и т.д. Характеристическая функция 
множества 
U
A
⊆
– это функция 
A
μ
, значения которой указывают, 
является ли 
U
x
∈
элементом множества A:



∉
∈
=
A.
x
0,
A;
x
1,
(x)
μ
A
В теории 
нечетких множеств
характеристическая функция 
называется 
функцией принадлежности
, а ее значение 
(x)
μ
A
– 
степенью принадлежности
элемента x нечеткому множеству A. 
Более строго: 
нечетким множеством
A называется совокупность 
пар
{
}
,
U
x
(x)
μ
x,
A
A
∈
=
где 
A
μ
– функция принадлежности, то есть 
[0,1].
U
:
μ
A
→
Пусть, 
например, 
U 
={a, 
b, 
c, 
d, 
e}, 
{
}
e,1
,
d,0.9
,
c,0.5
,
b,0.1
,
a,0
A
=
. Тогда элемент a не принадлежит 
множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c 
более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной 
степени, e
 
является элементом множества A.
Пример.
Пусть универсум U есть множество действительных 
чисел. Нечеткое множество A, обозначающее множество чисел, 
близких к 10, можно задать следующей функцией принадлежности 
(
рисунок 3.3
):

---

81 
1
m
A
)
10
x
(1
(x)
μ
−
−
+
=
,
где 
N.
m
∈