Мади «Автоматизированные системы управления»

 
Рисунок 3.3 –
 
Функция принадлежности 
A
μ
 
Показатель степени m выбирается в зависимости от степени 
близости к 10. Например, для описания множества чисел, очень 
близких к 10, можно положить m
 
= 4, для множества чисел, не очень 
далеких от 10, m = 1. 
Носителем
нечеткого множества A называется четкое множество 
A
~
таких точек в U, для которых величина 
(x)
μ
A
положительна, то 
есть 
0}.
(x)
μ
{x
A
~
A
>
=
Ядром
нечеткого множества A называется четкое множество 
A
~
таких точек в U, для которых величина 
(x)
μ
A
= 1. 
Множеством уровня
α
(
α
-
срезом
) нечеткого множества A 
называется четкое подмножество универсального множества
 
U, 
определяемое по формуле 
α
}
(x)
μ
{x
A
A
α
≥
=
, где 
[0,1].
α
∈
Функцию принадлежности называют 
нормальной
,
 
если ядро 
нечеткого множества содержит хотя бы один элемент. 
Операции над нечеткими множествами 
Для нечетких множеств, как и для обычных, определены 
основные 
операции: 
объединение, 
пересечение 
и 
инверсия/дополнение. 
Для определения пересечения и объединения нечетких множеств 
наибольшей популярностью пользуются следующие три группы 
операций: 

---

82 
Максиминные 
(x)}
μ
(x),
min{
μ
(x)
μ
(x)},
μ
(x),
max{
μ
(x)
μ
B
A
B
A
B
A
B
A
=
=
∩
∪
Алгебраические 
(x)
μ
(x)
μ
(x)
μ
(x),
μ
(x)
μ
(x)
μ
(x)
μ
(x)
μ
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
⋅
=
⋅
−
+
=
∩
∪
Ограниченные 
1}
(x)
μ
(x)
μ
max{0,
(x)
μ
(x)},
μ
(x)
μ
min{1,
(x)
μ
B
A
B
A
B
A
B
A
−
+
=
+
=
∩
∪
Дополнение нечеткого множества во всех трех случаях 
определяется одинаково:
(x).
μ
1
(x)
μ
A
A
−
=
Пример.
Пусть A – нечеткое множество «от 5 до 8» и B – нечеткое 
множество «около 4», заданные своими функциями принадлежности 
(
рисунок 3.4
).
Рисунок 3.4 –
 
Функции принадлежности нечетких множеств А и 
B 
Тогда, используя максиминные операции, мы получим следующие 
множества, изображенные на 
рисунке 3.5.
Рисунок 3.5 –
 
Функции принадлежности нечетких множеств, 
полученных из А и B
 
При максиминном и алгебраическом определении операций не 
будут выполняться законы противоречия и исключения третьего:
U,
A
A
0,
A
A
≠
∪
≠
∩

---

83 
а в случае ограниченных операций не будут выполняться свойства 
идемпотентности и дистрибутивности: 
A
A
A
A,
A
A
≠
∩
≠
∪
, 
C).
(A
B)
(A
C)
(B
A
C),
(A
B)
(A
C)
(B
A
∪
∩
∪
≠
∪
∩
∩
∪
∩
≠
∩
∪
Можно показать, что при любом построении операций 
объединения и пересечения в теории нечетких множеств приходится 
отбрасывать либо законы противоречия и исключения третьего, либо 
законы идемпотентности и дистрибутивности.