M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

 
Mashqlarni bajaring.  
 
 funksiyaning differensialini toping: 
 
1) 
;        2) 
;  
 
3) 
;        4) 
;        5) 
. 
 
Agar 
 funksiya 
 nuqtada differensiallanuvchi boʻlsa, u holda 
cheksiz kichik 
 miqdorlar uchun  
 
Munosabat bajariladi, ya’ni 
 
Bu taqribiy hisoblash formulasi deb ataladi. 
 7-misol.   
ni taqribiy hisoblang. 
 Yechish
. Buning uchun 
 funksiyani qaraymiz. Uning 
 
nuqtadagi qiymati 
 ga teng. Taqribiy hisoblash formulasidan 
foydalanamiz: 
. 
Bu yerda 
. 
U holda 
. 
 Erkli 
oʻzgaruvchilarni har qanday almashtirishda ham toʻla differensial 
formulasining saqlanish qonunini (invariantligi) 
  ikki oʻzgaruvchili 
funksiya misolida koʻrsatamiz. 
 
 boʻlib, 
 hosilalar mavjud boʻlsin. 
 orttirma 
berib, 
 
ifodalarni hosil qilamiz. U holda 
 funksiya 
 
( ) 12
2
2
df M
dx
dy
dz



 
y
x
f
,
 
y
x
y
x
x
y
x
f
3
2
2
4
3
2
,



 


4
2
3
3
2
,



y
x
y
y
x
f
 
y
x
x
y
y
x
f


,
 
2
2
,
y
x
x
y
x
f


 
x
y
y
x
f

 2
,
( )
y
f M

0
M
1
,...,
n
x
x


0
0
(
)
(
)
f M
df M


0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
(
)
(
)
(
)
...
(
)
(
)
(
)
(
)
...
n
n
n
n
f M
f M
f M
x
x
x
x
f M
f M
f M
f M
x
x
x
x





  
 







  



2,01
1,02
y
x
z

0
(1; 2)
M
1
1
)
(
2
0


M
z
1
(ln )
y
y
z yx
x x
x y

 
 

2 0,01
2
0
(
)
(
) (1 0,02)
1 ,
1,
2,
0,02,
0,01
z z M
z M
x
y
x
y


 

 



 
 
2 0,01
2 1
2
(
) (1 0,02)
1 2 1
0,02 1 ln1 0,01 1,04
z M



 
  

 


( , )
z
f x y

( );
( )
x
t
y
t




( ),
( )
t
t




t

0
0
( ) lim
,
( ) lim
t
t
x
y
t
t
t
t


 
 








( , )
z
f x y

(
,
)
( , )
z
f x
x y
y
f x y
 
 
  

 
85 
orttirma oladi. Toʻla orttirma formulasiga asosan,  
.  
 (3) 
 cheksiz kichik miqdorlar, ya’ni  
. 
(3) ifodani 
 ga boʻlib  
 
ifodani hosil qilamiz. Bundan 
 limitga oʻtsak, 
.  
 
 
 
 
(4) 
(4) ning ikki tomonini ham 
 koʻpaytirib,  
belgilashlardan foydalanib 
   
 
 
 (5) 
formulani hosil qilamiz. (5) toʻla differensial formulaning saqlanish qonuni, 
deyiladi. 
 
Bu qoidadan koʻp oʻzgaruvchili funksiyada murakkab funksiyani 
differensiallash qoidasi kelib chiqadi. 
 Masalan, 
 
funksiyaning toʻla differensiali: 
. 
 
   
(6) 
Bu yerda 
 
 
 
 
(6) formulaga asosan 
 funksiyaning toʻla differensialini 
  
 
 
 (7) 
koʻrinishda yozish mumkin. Agar bu yerda 
, deb olsak (7) quyidagi 
koʻrinishga keladi 
. 
 
   
(8) 
1
2
( , )
( , )
( )
( )
x
y
z
f x y x
f x y y
x
y




 
 
 
 

1
2
,
 
1
2
0
0
0;
0
0
0
t
x
t
y


     
      

t

1
2
1
1
( , )
( , )
( )
(
)
x
y
z
x
y
f x y
f x y
x
y
t
t
t
t
t










 






0
t
 
( , ) ( )
( , ) ( )
t
x
y
z
f x y
t
f x y
t









dt
,
( )
t
t
dz z dt dx
t dt dy
dt








( , )
( , )
x
y
dz
f x y dx
f x y dy




( , , ) :
( , , , ),
( , , , ),
( , , , )
F u v
u u x y z t v v x y z t
x y z t

 
 



d
dx
dy
dz
dt
x
y
z
t




 







;
F u
F v
F
x
u x
v x
x


  
 
 




 
 
 
;
F u
F v
F
y
u y
v y
y


  
 
 




 
 
 
;
F u
F v
F
z
u z
v z
z


  
 
 




 
 
 
.
F u
F v
F
t
u t
v t
t


  
 
 




 
 
 
1
2
( ( ),
( ), ...,
( ))
n
F x t x t
x t
1
2
1
2
...
n
n
dF
F dx
F dx
F dx
dt
x dt
x dt
x dt





 



1
t x

2
1
1
2
1
1
...
n
n
dF
F
F dx
F dx
dx
x
x dx
x dx





 




 
86 
 
Bu yerdagi 
 hosila 
 hosiladan farqli ravishda   oʻzgaruvchi 
boʻyicha toʻla hosila, deb ataladi. 
 Ikki 
oʻzgaruvchili 
  funksiya misolida 
 xususiy va 
 toʻla 
hosilalarning turli ma’noga ega ekanligini geometrik nuqtai-nazardan 
tushuntiramiz.  
 
 yoyning tenglamasi 
 koʻrinishda boʻlsin. U holda   yoy boʻylab 
 funksiyani 
 koʻrinishda yozish mumkin. (8) dan 
foydalanib 
 funksiyaning 
 nuqtada toʻla  
hosilasini 
yozamiz: 
.    
 
 
 
 (9) 
Bundan koʻrinadiki, 
 nuqtadagi 
 toʻla hosilala 
 nuqtadan 
oʻtuvchi 
 egri chiziqning yoʻnalishiga boʻg‘liq.    xususiy hosila esa 
 nuqtaning faqat oʻziga boʻg‘liq. 
 Faraz 
qilaylik, 
 nuqta va uning 
 atrofida 
 funksiya barcha 
 
xususiy hosilalarga ega boʻlsin. 
 
4-ta’rif. 
 nuqtada 
 funksiyaning birinchi tartibli 
 xususiy hosilasidan 
  oʻzgaruvchi boʻyicha olingan xususiy hosilaga 
 funksiyaning 
 
nuqtadagi ikkinchi tartibli xususiy hosilasi deb ataladi va quyidagicha belgilanadi: 
2
i j
x x
j
i
i
j
f
f
f
x
x
x x












 


. 
 
 
 
(10)
 
 
Agar (10) da 
 boʻlsa, u holda uni 2-tartibli xususiy hosila 
 boʻlsa 
uni 2-tartibli aralash hosila deb ataladi. Xuddi shunday usulda 3, 4 va hokazo 
barcha yuqori tartibli hosilalar aniqlanadi. Shuni alohida ta’kidlash kerakki aralash 
hosilada natija qaysi oʻzgaruvchi boʻyicha hosila olinish tartibiga bog‘liq emas 
alohida har bir oʻzgaruvchi boʻyicha hosila tartibi oʻzgarmasligi kerak, ya’ni: 
1
dF
dx
1
F
x


1
x
( , )
z F x y

1
F
x


1
dF
dx
l
( )
y
f x

l
( , )
z F x y

( , ( ))
z F x f x

( , ( ))
z F x f x

( , )
M x y
dF
dx
( )
dF
F
F
f x
dx
x
y







( , )
M x y
dF
dx
( , )
M x y
( )
y
f x

1
F
x


( , )
M x y
0
M
0
(
)
U M

( )
f M
0
(
)
i
f M
x


0
M
)
(M
f
i
f
x


j
x
)
(M
f
0
M
i j

i
j


 
87 
 
 8-misol.
 funksiyaning barcha ikkinchi tartibli 
xususiy hosilalarni toping.  
 Yechish. 
Birinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz: 
. 
Endi bundan foydalanib ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz: 
 
 
 funksiyaning yuqori tartibli differensiali quyidagicha aniqlanadi: 
 – 2-tartibli differensial, 
 – 3-tartibli differensial va hokazo. 
 
 oshkormas funksiyaning hosilasini hisoblash uchun 
 funksiyalarning uzluksizligini talab qilamiz. Agar 
 boʻlsa, u holda: 
( , )
( , )
x
x
y
F x y
y
F x y

  

. 
 Xuddi 
shunday 
usulda 3 va undan koʻp oʻzgaruvchili oshkormas 
funksiyalardan hosilalar olish mumkin. 
 
 funksiya 
 nuqtaning 
atrofida aniqlangan 
boʻlsin.  
 
5-ta’rif. 
Agar 
 nuqtaning shunday 
 atrofi mavjud boʻlsaki, barcha 
 nuqtalar uchun 
 tengsizlik 
bajarilsa, 
 nuqta lokal minimum (maksimum) nuqta deyiladi. 
 
2
2
3
3
4
4
2
2
2
2
2
2
,
,
,...
i
j
j
i
i
j
j
i
j
j
j
i
f
f
f
f
f
f
x x
x x
x x
x x
x x
x x









 
 
 
 
 
 
5 2
6
3
1 2
1
2
( ) 2
3
4
f M
x x
x
x



4 2
5
5
2
1
2
1
1
2
2
1
2
10
18 ;
4
12
f
f
x x
x
x x
x
x
x








2
3 2
4
1 2
1
2
1
1
1
2
4
1
2
1
2
1
2
2
1
40
90 ;
20
;
f
f
x x
x
x
x
x
f
f
f
x x
x x
x
x
x
x































 








2
5
1
2
2
2
2
2
4
24 .
f
f
x
x
x
x
x















)
(M
f
y

2
2
1
1
( )
n
n
i
j
i
j
i
j
f
d f
d df
dx dx
x x





 

3
3
2
1
1
1
(
)
n
n
n
i
j
k
i
j
k
i
j
k
f
d f
d d f
dx dx dx
x x x






  

( , ) 0
F x y

( , ),
( , ),
( , )
x
y
F x y F x y F x y
( , ) 0
y
F x y

)
(M
f
y

0
M
 
0
( )
r
U M
D f


0
M
 
0
r
U M
 
0
r
M U M

 


0
0
(
)
( )
( )
f M
f M
f M
f M


0
M

 
88 
6-ta’rif. 
Funksiyaning lokal maksimum va minimum nuqtalari funksiyaning lokal 
ekstremum nuqtalari deb ataladi. 
 
 
Funksiyaning ekstremum nuqtalarini aniqlash uchun yoʻnalish boʻyicha 
hosila va gradiyent tushunchasini kiritamiz. 
 
 funksiya 
 nuqta atrofida anuqlangan va 
 
vektor berilgan boʻlsin. Bu yerda   vektor yoʻnalishida 
 birlik vektorni 
aniqlaymiz. 
 nuqtadan   vektor yoʻnalishi boʻylab nur oʻtкazamiz 
va uning tenglamasini parametrik tenglama koʻrinishida yozamiz: 
.  
(11) 
Bu yerda 
, chunki 
. 
 
(11) da 
 funksiyani 
qaraymiz. U holda 
 nuqtada   yoʻnalish boʻyicha hosila 
 
quyidagicha aniqlanadi: 
. 
 
Shunday qilib yoʻnalish boʻyicha hosila 
 
faqat 
  nuqta va    vektor 
yoʻnalishi bilan aniqlanib u koordinatalar sistemasining tanlanishiga bog‘liq emas. 
 
hosilani murakkab funksiya hosilasi formulasi yordamida hisoblasak: 
. 
Bu yerda 
 
 funksiyaning 
 nuqtadagi 
gradiyenti, deb ataladi va 
  yoki 
 (
nablaef) koʻrinishda 
belgilanadi. 
 9-misol. 
 funksiyaning 
 nuqtadagi 
gradiyentini toping. 
 Yechish
. 
( , , )
u
f x y z

0
0
0
0
( , , )
M x y z
0
l


l

2
2
2
0
(cos ,cos ,cos ), cos
cos
cos
1
l
l
l














0
0
0
0
( , , )
M x y z
l

0
0
0
cos ,
cos ,
cos ,
0
x
x
t
y
y
t
z
z
t
t












0
0
0 0
( , , ),
( ,
)
t
M x y z M x y z


2
2
2
2
2
2
0
0
0
(
)
(
)
(
)
cos
cos
cos
x x
y
y
z z
t
t












0
0
0
( , , )
(
cos ,
cos ,
cos )
f x y z
f x
t
y
t
z
t







0
0
0
0
( , , )
M x y z
l

f
l


0
0
0
0
0
0
0
(
)
( )
(
)
lim
(
cos ,
cos ,
cos )
t
t
f M
f M
f M
d
f x
t
y
t
z
t
l
t
dt













f
l


0
M
l

f
l


0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
cos
cos
cos
f M
f M
f M
f M
f dx
f dy
f dz
l
x dt
y dt
z dt
x
y
z























0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
,
,
(
)
f M
f M
f M
f M
x
y
z




 







f
0
M
0
(
)
gradf M
0
(
)
f M

f
 
2
3
2
1
2
1
2
1
2
( , ) 3
4
2
5
f x x
x x
x
x






1
;
1
0

M

 
89 
 
Demak, 
 Birlik vektor: 
; 
 
nuqtada 
 
funksiyaning gradiyenti esa 
 
koʻrinishda aniqlanadi. U holda 
       
(12) 
 Bundan 
koʻrinib turibdiki, agar 
  boʻlsa, u holda 
  nuqtadagi 
yoʻnalish boʻyicha hosila 
 
oʻzining eng katta qiymatiga faqat 
  ning 
yoʻnalishida erishadi, ya’ni 
  boʻlganda. Bu yerda 
  va    vektorlar 
orasidagi burchak. 
 
Gradiyent tushunchasidan foydalanib ekstremumning zaruriy shartini 
aniqlaymiz. 
 
7-ta’rif. 
Agar 
 nuqtada 
 funksiyaning gradiyenti nol vektor, ya’ni 
 boʻlsa, u holda 
 nuqta 
 funksiyaning statsionar 
nuqtasi deyiladi. 
 
 10-misol. 
  funksiyaning statsionar 
nuqtasini toping.  
 Yechish
. Funksiyaning gradiyentini aniqlaymiz:  
 
Bundan 
 
sistemaning yechimi 
 funksiyaning statsionar nuqtasi boʻladi. 
 
 nuqta atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega boʻlgan 
funksiya berilgan boʻlsin. Bu nuqtada quyidagi orttirmani qaraymiz: 
 
2
0
1
2
1
1
1
2
0
1
2
2
2
( )
(
)
6
12 ,
18;
( )
3
4 ,
1.
f M
f M
x x
x
x
x
f M
f M
x
x
x
x



 
 






 


).
1
,
18
(
)
(
0



M
f
grad
2
2
2
0
(cos ,cos ,cos ), cos
cos
cos
1
l











0
M
( , , )
f x y z
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
,
,
(
)
f M
f M
f M
f M
x
y
z




 







0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
cos
cos
cos
cos
cos
f M
f M
f M
f M
l
x
y
z
f l
f

















 
 

0
f
 
0
M
f
l


f

0




f

0
l

n
R
M

0
)
(M
f
0
(
) 0
grad f M

n
R
M

0
)
(M
f
2
2
1
2
1
1 2
2
1
2
( , )
6
9
5
f x x
x
x x
x
x
x








1
2
1
2
( )
2
6;
2
9 .
grad f M
x
x
x
x



 

1
2
1
2
2
6 0
( ) 0
2
9 0
x
x
grad f M
x
x

 

  
 
 



4
;
1
0

M
( , )
M a b
( , )
z
f x y
