M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

- §. Chekli elementlar usulining asosiy tushunchalari

Download 6,61 Mb.

Pdf ko'rish

bet	126/137
Sana	01.01.2022
Hajmi	6,61 Mb.
	#298423

1 ... 122 123 124 125 126 127 128 129 ... 137

Bog'liq
LelGhBqGBkq97jVvI5sUP5zWTzi6RQDkxbJxcXal

4- §. Chekli elementlar usuli bilan cho‘zilish (siqilish) masalalarini yechish

3- §. Chekli elementlar usulining asosiy tushunchalari

Odatda variatsion usulda (Rits usulida) tashqi ta’sir natijasida hosil

bo‘ladigan elastik ko‘chishlar quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:

∑

=

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

z

y

x

c

w

z

y

x

b

z

y

x

f

a

u

)

(

)

(

)

(

(16.1)

bu yerda

i

i

i

f

– tanlab olingan masalani chegaraviy shartlarini

qanoatlantiruvchi funksiyalar,

i

i

i

c

b

a

– to‘la potensial energiya

funksionalini minimum yoki statsionar qiymatini qanoatlantiruvchi

noma’lum koeffitsientlar.

Bu usul yordamida masala yechishdagi muammo ko‘chish

komponentlari

)

(

w

u

larni aproksimatsiya qiluvchi funksiyalarni

tanlab olishdir. Bunday funksiyalarning soni (n) qancha ko‘p olinsa,

masalani yechimi ham shuncha aniq bo‘ladi.

Chekli elementlar usulida esa hisoblanayotgan jism, kichik chekli

elementlarga bo‘linadi. Bu holda har bir element ichidagi ko‘chishni

ifodalovchi

)

(

w

u

funksiyalar oddiy (chiziqli yoki kvadratik)

funksiyalar orqali ifodalanadi. Chekli elementlarning uchlaridagi

noma’lum koeffitsientlar (ya’ni tugunlardagi ko‘chishning qiymatlarini)

funksionalning minimum yoki statsionar kiymatini ta’minlash uchun

hosil qilinadigan tenglamalar xuddi variatsion usuldagidek mumkin

bo‘lgan ko‘chish prinsipi asosida hosil qilinadi ya’ni:

=

+

−

P

A

F

A

u

A

A

(16.2)

389

Bu yerda,

P

F

u

A

A

A

A

– elastik, inersiya, hajmiy va jism

sirtiga qo‘yilgan kuchlarning bajargan virtual ishlari.

Hajmiy (fazoviy) kuchlanish holatida bu kuchlarning bajargan

virtual ishlari quyidagicha aniqlanadi:

{ }

{ } { }

∫

V

T

P

V

T

F

V

T

u

V

T

dV

u

P

A

dV

u

F

A

dV

u

u

A

dV

A

δε

(16.3)

{ }

{

}

zx

yz

xy

z

y

x

Т

– fazoviy kuchlanish holatida

elementar hajmdagi kuchlanishlarni ifodalovchi kuchlanish

komponentlari;

{ }

{

}

zx

yz

xy

z

y

x

Т

– elementar hajmning

nisbiy bo‘ylama va siljish deformatsiyalarini ifodalovchi deformatsiya

komponentlari;

{ }

{

}

w

u

u

Т

– nuqtaning ko‘chishini ifodalovchi

ko‘chish komponentlari;

{ }

{

}

z

y

x

Т

F

F

F

F

– hajmiy kuchning

koordinata o‘qlardagi proeksiyalari;

{ }

{

}

z

y

x

Т

P

P

P

P

– jism sirtiga

ta’sir qilayotgan tashqi kuchning koordinata o‘qlaridagi proeksiyalari;

{ }

=

T

u

{

}

w

– nuqtaning tezlanishini ifodalovchi tezlanish

komponentlari;

– variatsiyalash operatsiyasini bildiradi; V –

deformatsiyalanuvchi jism hajmi; S – deformatsiyalanuvchi jismning

tashqi kuch qo‘yilgan yuzasi;

– materialning zichligi.

Elastik jismlar uchun kuchlanish komponentlari

{ }

–

deformatsiya komponentlari

{ }

bilan umumlashgan Guk qonuni orqali

quyidagicha bog‘lanadi.

yz

yz

z

z

xz

xz

y

y

xy

xy

x

x

μγ

με

λθ

μγ

με

λθ

μγ

με

λθ

(16.4)

Urinma kuchlanishning juftlik qonuniga asosan

yz

zy

xz

zx

xy

yx

bo‘ladi.

Deformatsiya komponentalari

{ }

ε

ko‘chish komponentalari

{ }

u

bilan Koshi munosabatlari orqali bog‘lanadi, ya’ni:

390

y

w

z

z

w

z

u

x

w

y

x

y

u

x

u

yz

x

zx

y

xy

x

∂

(16.5)

Bu yerda,

y

y

x

– hajmiy deformatsiya;

– Lame

koeffitsientlari deyilib, elastiklik moduli E va Puasson koeffitsienti

orqali quyidagicha aniqlanadi:

)

(

)

)(

(

−

=

Е

Е

Bu (16.4), (16.5) munosabatlar fazoviy kuchlanish holati uchun

yozilgan bo‘lib, cho‘zilish (siqilish), buralish, egilish va tekis kuchlanish

holatlaridagi masalalarni ko‘rilganda ular soddalashib ketadi.

Ko‘rilayotgan masala uchun (16.2), (16.3), (16.4), (16.5)

munosabatlar asosida variatsion tenglama hosil qilinib, u chekli

elementlar usuli yordamida yechiladi.

Chekli elementlar usuli bilan masalani yechish quyidagi

bosqichlardan iborat bo‘ladi:

Hisoblanayotgan jismni elementlarga bo‘lish.

Elementlar ichidagi ko‘chish va deformatsiyalarni element

(uchlaridagi) tugunlardagi ko‘chishlar orqali ifodalash.

Mumkin bo‘lgan ko‘chish prinsiplaridan foydalanib, butun jism

uchun hisoblash tenglamalar sistemasini hosil qilish .

Hosil qilingan tenglamalar sistemasini yechib, jismda hosil

bo‘ladigan ko‘chish, deformatsiya va kuchlanishlarni aniqlash.

Chekli elementlar usuli bilan hisoblash ishlarini bajarish uchun

masala shartiga qarab, har xil chekli elementlarni qo‘llash mumkin.

Chekli element har doim tugunlarda va element ichida hosil bo‘ladigan

ko‘chish va kuchlanishlarni o‘zida yaxshi aks ettirishi kerak. Odatda

chekli elementlar sifatida, sterjen, balka, uchburchak, to‘rtburchak yoki

fazoviy elementlar (tetraedr) qo‘llaniladi.

Chekli element ichidagi ko‘chishni element tugunlarining soniga

qarab har xil ko‘rinishdagi polinomlar yordamida approksimatsiya

qilinadi.

391

4- §. Chekli elementlar usuli bilan cho‘zilish (siqilish) masalalarini

yechish

Sterjenning cho‘zilish (siqilish) masalalari qaralganda yuqoridagi

(16.3) – (16.5) munosabatlar soddalashib quyidagi ko‘rinishga ega

bo‘ladi:

Deformatsiya bilan ko‘chish orasidagi bog‘lanish.

x

u

x

∂

(16.6)

Kuchlanish bilan deformatsiya orasidagi bog‘lanish (Guk qonuni)

⋅

=

Е

(16.7)

Elastik kuchni bajargan virtual ishi

∫

=

L

dx

А

σδε

(16.8)

Inersiya kuchini bajargan virtual ishi

∫

=

L

u

udx

u

A

(16.9)

5. Hajmiy kuchni bajargan virtual ishi

∫

L

x

F

udx

x

S

F

A

)

(

(16.10)

Bu yerda, u – sterjen o‘qining ixtiyoriy nuqtasini ko‘chishi, L – sterjen

uzunligi, F

– x o‘qi yo‘nalishi bo‘yicha ta’sir qilayotgan hajmiy kuch.

Sterjenning ko‘ndalang qismi yuzasi quyidagicha o‘zgaradi deb

olamiz:

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

L

x

I

S

x

S

o

(16.11)

Bu yerda: S

– sterjenning x=0 kesimidagi yuzasi;

– yuzaning

kichrayishni ifodalovchi koeffitsient.

Cho‘zilish va siqilishga tegishli masalalarni yechish uchun 16.1-

rasmdagi sterjen chekli elementlarga (16.2-rasm) bo‘linib, N-ta

elementga bo‘lingan sterjen modeli hosil qilinadi (16.3-rasm).

k – element ichidagi ko‘chish o‘zgarishini quyidagicha ifodalanish

mumkin:

х

а

а

u

k

k

k

(16.12)

Har bir elementda (16.2-rasm) ikkita tugun (

i,j

) bo‘lib, bu tugunni

koordinatalari

(

)

k

j

k

i

x

x

, tugundagi ko‘chish

(

)

k

j

k

i

u

u

bo‘ladi.

392

16.1-rasm. Cho‘zilishga ishlaydigan sterjen.

16.2-rasm. Chekli elementlarga

ajratish.

16.3-rasm. Chekli elementga

bo‘lingan sterjen modeli.

Chekli elementlar usulini tushuntirishda skalyar ko‘rinishida

ifodalangan munosabatlar bilan birga ularni vektor ko‘rinishlari ham

berilib boriladi.

Element tugunlaridagi (16.2-rasm) ko‘chishni (16.12) orqali

aniqlaymiz.

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

k

k

k

j

k

i

k

j

k

i

a

a

x

x

u

u

yoki

{ }

[ ]

{ }

k

k

а

Г

u

(16.13)

(16.13)ni

{ }

k

a

ga nisbatan yechsak,

{ }

[ ]

{ }

k

k

u

Г

a

−

(16.14)

hosil bo‘ladi.

{ } {

}

k

j

k

i

Т

k

u

u

u

;

{ } {

}

k

k

Т

k

a

a

a

;

[ ]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

k

j

k

i

x

x

Г

;

[ ]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

γ

Г

393

(16.14)dan

k

a

k

a

ni quyidagicha yozib olishimiz mumkin:

k

j

k

i

k

u

u

a

(16.15)

(16.15) munosabatni (16.12) ga olib borib qo‘ysak, k –

elementning ichidagi ko‘chish, tugunlaridagi ko‘chishlar orqali

quyidagicha ifodalaniladi:

(

)

(

)

k

j

k

i

k

u

x

u

x

u

yoki

{

}

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

k

j

k

i

k

u

u

x

x

u

(16.16)

(16.16)dan foydalanib, (16.6) – (16.10) dagi munosabatlarni

alohida k-element uchun yozib olamiz:

( )

{

}

( )

{

}

{

}

)

(

)

(

)

(

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∂

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∂

k

j

k

i

k

k

j

k

i

k

k

k

j

k

i

k

j

k

i

k

k

u

u

х

x

u

u

u

x

u

u

u

u

u

u

x

u

u

δε

( )

( ) ( )

( )

∫

∂

⋅

∂

=

k

i

k

j

k

i

k

j

k

i

k

j

k

i

k

j

x

x

k

x

k

k

F

k

F

x

x

k

k

k

u

k

u

x

x

x

x

k

k

k

k

k

k

dx

u

F

x

S

u

u

A

u

A

dx

u

u

x

S

u

u

A

u

A

dx

u

u

E

dx

u

u

u

A

u

A

k

δε

σδε

(

)

(

)

(

)

Download 6,61 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 ... 122 123 124 125 126 127 128 129 ... 137