Lopital qoidasi

Lopital qoidasi
Lopital qoidasi( va tipidagi aniqmasliklarni ochish uchun). funksiyalar nuqtaning biror atrofida uzluksiz va differensiallanuvchi bo‘lsin. Agar da funksiyalar nolga (yoki ga) intilsa va mavjud bo‘lsa, u holda ham mavjud va bu limitlar teng, ya’ni

Lopital qoidasi da ham o‘rinli.

1-misol

Ushbu limitni hisoblang

►Kasrning surati ham, maxraji ham uzluksiz, differensiallanuvchi va da nolga intiluvchi funksiyalar bo‘lgani uchun Lopital qoidasini qo‘llaymiz,

◄

Agar nisbat da yana va tipidagi aniqmaslik bo‘lsa va funksiyalar ham yuqoridagi shartlarni qanoatlantirsa, qoidani yana bir bor qo‘llab ikkinchi tartibli hosilaga o‘tish mumkin, va hakozo. Lekin hosilalar nisbatining limiti mavjud bo‘lmasa ham funksiyalar nisbatining limiti mavjud bo‘lishi mumkin.

2-misol

Ushbu limitni hisoblang

► , bu limit mavjud emas, chunki kasrning surati va maxraji kesmadagi ixtiyoriy sonni, kasrning o‘z i esa ixtiyoriy musbat sonni qabul qila oladi. Demak, Lopital qoidasini qo‘llab bo‘lmaydi. Lekin

. ◄

va tipidagi aniqmasliklar osonlik bilan yoki tipidagi aniqmasliklarga keltiriladi. Masalan, agar bo‘lsa, bu ko‘paytma yoki lardan biriga almashtiriladi, agar bo‘lsa, , bu esa tipidagi aniqmaslikdir.

3-misol

Ushbu limitni hisoblang

►Bu esa tipidagi aniqmaslik.

◄

ko‘rinishdagi funksiya limitini hisoblashda tipidagi aniqmasliklar mavjud. Bunday aniqmasliklarni avval logarifmlab, tipiga keltiriladi: , . So‘ngra yuqoridagi kabi almashtitirish bajarilib, Lopital qoidasi qo‘llanadi.

4-misol

Ushbu limitni hisoblang

►Bu yerda tipidagi aniqmaslik.



, ◄

Мавзуга доир топшириқлар

1. 
   funksiya uchun va kesmalarda Roll teoremasi shartlari bajarilishini ko‘rsating va mos c nuqta qiymatlarini aniqlang.
   
2. 
   parabolaninig va nuqtalari orasidagi yoyida yotuvchi shunday bir nuqtani topingki, bu nuqtadan o‘tkazilgan urunma vatarga parallel bo‘lsin.
   

Quyidagi limitlarni Lopital qoidasi yordamida hisoblang:

3. 22.

4. _23.

5. 24.

_{6. 25.}

7. 26.

₈. . 27.
9. . 28.

10. 29.

11. 30.

12. 31.

_13. 32.

_14. 33.

_15. 34.

16. 35.

17. 36.

18. 37.

19. 38.

20. 39.

21. 40.

.
.

Mustaqil yechish uchun testlar

Quyidagi limitlarni hisoblang:

1.

_A) B) C) D)

2.

A) B) C) D)

3.

A) B) C) D)

_4.

A) B) C) D)

5.

A) B) C) D)