Lobachevskiy geometriyasining puankare va kleyn talqini

1.3-§. Gilbert aksiomalari sistemasi

Yevklid aksiomalari asosida Gilbert tomonidan tuzilgan aksiomalar gruppasini keltiramiz. Geometriyada ko‘riladigan asosiy obʼektlar, asosiy narsalar: “nuqtalar”, “to‘g‘ri chiziqlar”, “tekisliklar" dir. Nuqta, to‘g‘ri chiziq va tekislik Gilbert sistemasida asosiy tushunchalar bo‘lib taʼriflanmaydi. Bu tushunchalar taʼriflanmaydi, tushuntirilmaydi, tavsiflanmaydi.

Asosiy obʼektlar orasidagy asosiy munosabatlar: “bir-biriga qarashlik”, “orasida”, “kongruyent bo‘lish. Bu asosiy munosabatlar ham taʼriflanmaydi, tushuntirilmaydi, tavsiflanmaydi. Shuni esda tutish kerakki, bir narsani ikkinchi narsa orqali, bu ikkinchini uchinchi narsa, uchinchini to‘rtinchi orqali.... va h k. bepoyon taʼriflay berish mumkin ham emas bu zanjirning uchi bo‘lishi kerak. Geometriya shu printsipga asoslanib, asosiy obʼektlar va ular orasidagi asosiy munosabatlardan boshlaydi.
Aksiomatikani boshlab o‘zlashtirish davrida, taʼriflanmaydigan asosiy tushunchalar va taʼriflanmaydigan asosiy munosabatlarni maʼlum deb hisoblash mumkin. Ishning muhim tomoni shundaki, asosiy obʼektlar va asosiy munosabatlardan biz faqat aksiomalarga itoat etishni talab qilamiz va boshqa jihatdan ularni butunlay ixtiyoriy deb faraz qilamiz. Shuni ham eʼtiborga olish kerakki, asosiy obʼektlar va asosiy munosabatlar kategoriyalari turlicha bo‘lgan turli aksiomalar sistemasi mavjud, lekin ular bir-biriga ekvivalentdir; bu ekvivalentlikning maʼnosi shuki, bu sistemalarga asoslangan geometriya birxildir.
Aksiomalarning birinchi gruppasi: birlashtirish (qarashlik) aksiomalari. Asosiy munosabat “bir-biriga qarashlik”.
I1. Har qanday ixtiyoriy ikki nuqta uchun bu nuqtalar qarashli bo‘lgan to‘g‘ri chiziq mavjud..
I2. Har qanday to‘g‘ri chiziqda kamida ikkita nuqta mavjud.
I3. To‘g‘ri chiziqda hech bo‘lmaganda ikkita nuqta mavjud. Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan hech bo‘lmaganda uchta nuqta mavjud.
I4. Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan istalgan uchta A, B, C nuqta uchun, ularning har biriga qarashli α tekislik mavjud. Har bir tekislik uchun unga qarashli kamida bitta nuqta mavjud.
I5. Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta A, B, C nuqta uchun, shu nuqtalarga qarashli bo‘lgan bittadan ortiq tekislik mavjud emasdir.
I6. Agar a to‘g‘ri chiziqning ikki A, B nuqtasi α tekislikda yotsa, a to‘g‘ri chiziqning har bir nuqtasi ham α tekislikda yotadi.
I7. Agar ikki a, r tekislik umumiy A nuqtaga ega bo‘lsa, ularning kamida yana bitta umumiy B nuqtasi bordir.
I8. Bir tekislikda yotmagan kamida to‘rtta nuqta mavjuddir.
Aksiomalarning birinchi gruppasi shu bilan tugaydi. Bu gruppadagi avvalgi uchta aksioma (I1—I3), bir tekislikda joylashgan obʼektlarga doirdir; bu gruppaning qolgan beshta aksiomasi (I4—I8) fazoviy obʼektlarga doirdir.
Aksiomalarning ikkinchi gruppasi: tartib aksiomalari.
Asosiy tushuncha “orasida”.
Gilbert quyidagi mulohazadan boshlaydi: „Bu grup-paning aksiomalari “orasida” tushunchasini aniqlaydi va bu tushunchaga asoslanib, to‘g‘ri chiziq, tekislik va fazoda nuqtalarning joylashishida tartibni o‘rnatishga imkoniyat beradi“.
II1. Agar B nuqta (1-chizma) A va C nuqtalar orasida yotsa, u holda A,B,C nuqtalar — to‘g‘ri chiziqning uchta turli nuqtalarini bildiradi va B nuqta C bilan A orasida ham yotadi.
II2. A va C qanday nuqtalar bo‘lsada (2-chizma), AC to‘g‘ri chiziqda kamida shunday bitta B nuqta topiladiki, C nuqta A bilan B orasida yotadi.
III3. To‘g‘ri chiziqning uchta nuqtasi berilgan bo‘lsa, ularning bittadan ortig‘i qolgan ikkitasi orasida yotaolmaydi.