Lobachevskiy geometriyasining puankare va kleyn talqini

1.5-§. Tekislikdagi Lobachevskiy geometriyasining Puankare
interpretatsiyasi

Lobachevskiy geometriyasini Puankare Yevklid geometriyasining elementlari bilan Yevklid tekisligiga interpretatsiyalaydi.
Asosiy obʼektlar kategoriyasi quyidagicha bo‘lsin:
1. “Nuqta” – bu yuqori yarim tekislikdagi oddiy nuqtalar bo‘lsin. OX o‘qidagi va pastki yarim tekislikdagi nuqtalar bu kategoriyaga kirmaydi;
2. “To‘g‘ri chiziq” – bu markazi OX to‘g‘ri chiziqda bo‘lgan yarim aylanadan va asosiy OX to‘g‘ri chiziqga perpendikulyar bo‘lgan oddiy yarim to‘g‘ri chiziqdan iborat (3-chizma);
3. “Tekislik” – bu yuqori yarim tekislik OX to‘g‘ri chiziqga nisbatan. “Tegishli” va “orasida” oddiy maʼnoda tushuniladi. 4, 5 chizmalar tekislikning I. 1-3 birinchi gruppa aksiomalarining bajarilishini tasvirlaydi. Ikkinchi gruppa II.1-4 aksiomalarnin bajarilishini 6, 7, 8 chizmalar tasvirlaydi.




“Kongruyentlik” tushunchasini kiritish uchun avvalo A va B nuqtalar
orasidagi “masofa” tushunchasini kiritamiz.
Agar A va B nuqtalar Puankarening xaritasidagi tasvirlangan yarim aylana, yaʼni “to‘g‘ri chiziq”da yotsa, u holda bunday A, B juft nuqtalar uchun

sonni mos keltiramiz. Agar nuqtalar xaritada tasvirlangan yarim to‘g‘ri chiziqda

(OXga perpendikulyar), yaʼni “to‘g‘ri chiziq”da yotsa, u holda A, B nuqtalar uchun

sonni mos keltiramiz.

Fransuz matematigi Anri Puankare tomonidan keltirilgan Lobachevskiye geometriyasi modeli ancha murakkab.
Yevklid tekisligida gorizotal α tekislik olaylik. Bu to‘g‘ri chiziq tekislikni ikki yarim tekislikka ajratadi. Yuqori yarim tekislik nuqtalarini Lobachevskiy tekisligi nuqtalari deb qaraymiz. Bunda a to‘g‘ri chiziq tuqtalari tekislikka tegishli emas. Markazi a to‘g‘ri chiziiqda bo‘lgan yarim aylanalarni to‘g‘ri chiziq sifatida qabul qilamiz. Shuningdek, a to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar nuqtalarni ham Lobachevskiy tekisligi to‘g‘ri chizig‘i deb qaraymiz. Bunda parallel to‘g‘ri chiziqlar a to‘g‘ri chiziqning bir nuqtasidan chiquvchi aylanalardan tashkil tpgan bo‘ladi.
Bu modelning qulayliklaridan biri masofa, burchak kattaliklarini o‘lchash Yevklid tekisligidan o‘lchash usullari bilan bir xildir.