Лобачевский текислигининг гиперболоид устидаги талқини Ҳатамов И. М., Файзуллаев Ш. У

_{2-тасдиқ. Тўғри чизиқ ва унда ётмаган нуқта берилган бўлсин. Бу нуқтадан берилган тўғри чизиқга иккита параллел тўғри чизиқ ўтказиш мумкин.
Т асдиқни тўғри эканига N - нуқтани чапга, К – нуқтани ўнгга қўзғатиш йўли билан кўрсатиш мумкин. Бунда тўғри чизиқ М – нуқта атрофида бурилади ва бурилиш жараёнида кесишувчи тўғри чизиқ кесишмайдиган тўғри чизиқлар тўпламига ўтади. Чегаравий ҳолат параллелликни беради (4-расм).
Бу текисликнинг Кели-Клейн яъни доира ичидаги талқини билан [6] – да танишиш мумкин.
Лобачевский текислигининг евклид фазосидаги талқини.
Маълумки гиперболани симметрия ўқи атрофида айлантиришдан хосил бўлган шакл икки паллали гиперболоид деб аталади [3]. Бунда гиперболанинг ассимтоталаридан айланма конус сирт хосил бўлади. Бу айланма конус, гиперболоидга ассимтотик конуси деб аталади.
Биз Лобачевский текислиги талқинини ҳосил қилиш учун икки паллали гиперболоиднинг бир палласидан фойдаланамиз. Бундан сўнг гиперболоид деганда икки паллали гиперболоиднинг бир палласини тушунамиз. Тасаввур қилиш осон бўлиши учун, ассимтотик конус ва гиперболоид бирор координаталар системасида берилган бўлсин деб ҳисоблаймиз. Бунда координаталар боши конус учуда,   – ўқи эса конуснинг симметрия марказида бўлсин (5-расм).}
Гиперболоидга тегишли бўлган нуқталарни Лобачевслий текислиги “нуқта”лари деб қабул қиламиз.
Конус учидан ва гиперболоидни кесувчи текисликларни ўтказамиз. Кесимда гипербола ҳосил бўлади. Шунингдек бу текислик ассимтотик конусни икки ясовчиси бўйича кесиб ўтади. Бу ясовчилар кесимда ҳосил бўлган гипербола учун ассимтота бўлади.
Лобачевский текислигининг “тўғри чизиғи” – деб гиперболоидни конус учидан ўтувчи текислик билан кесишишидан ҳосил бўлган нуқталарнинг геометрик ўрнига айтилади.
Б у чизиқ гиперболоид устида ётувчи гипербола бўлади.



тоғри чизиқ, нуқта.
Маълумки фазода берилган икки текислик ҳар доим бирор тўгри чизиқ (Евклид маъносида) бўйлаб кесишади.
Координаталар системасида гиперболоид ва ва ассимтотик конус учидан ўтувчи текисликлар берилган бўлсин. Ҳар иккала текислик ассимтотик конус учудан ўтганлиги учун, улар албатта бирор l тўғри чизиқ бўйича кесишади. Бу кесишувчи тўғри чизиқ конусга нисбатан 3 ҳил жойлашиши мумкин:

1. 
   Конусдан ташқарида
   
2. 
   Конус ичида.
   
3. 
   Конус устида
   

Берилган гиперболоид ва берилган текисликлар кесишишидан кесимида Лобачевский тўғри чизиқлари (яъни гиперболалар) ҳосил бўлади.
Б ерилган икки текислик гипербилоиддан ташқарида ва ассимтотик конуснинг учи орқали ўтувчи тўғри чизиқ (Евклид маъносида) бўйлаб кесишсин. Бу текисликлар гиперболоиддан ташқарида кесишганлиги учун бу икки текислик гиперболоид устида умумий нуқтага эга эмас. Шунинг учун текисликлар ва гиперболоид кесишишидан кесимида ҳосил бўлган Лобачевский тўғри чизиқлари умумий нуқтага эга бўлмайди. Умумий нуқтага эга бўлмаган тўғри чизиқлар кесишмайдиган тўғри чизиқлар деб аталади. (7-расм).
Б ерилган икки текислик гиперболоиднинг ичидан ва ассимтотик конус учи орқали ўтувчи тўғри чизиқ (Евклид маъносида) бўйлаб кесишсин. У ҳолда бу икки текислик гиперболоид устида умумий нуқтага эга бўлади. Гиперболоид ва текисликлар кесишишидан кесимида ҳосил бўлган Лобачевский тўғри чизиқлари ҳам умумий нуқтага эга бўлади. Умумий нуқтага эга бўлган Лобачевский тўғри чизиқлари кесишадиган тўғри чизиқлар деб аталади (8-расм).
Енди гиперболоид устида киритилган “нуқта” ва “тўғри чизиқ” тушунчалари учун Лобачевский аксиомасининг бажарилишини кўрсатамиз.
Бизга юқоридаги гиперболоид ва , ва учта ассимтотик конус учидан ўтувчи текисликлар берилган бўлсин. Бу учта текислик ўзаро кесишишидан учёқ ҳосил бўлади. Текисликлар кесишишидан ҳосил бўлган , ва тўғри чизиқлар (Евклид маъносида) учёқнинг қирралади бўлсин. Ҳар уччала текислик ҳам ассимтотик конуснинг учи орқали ўтганлиги учун учёқнинг учи ҳам ассимтотик конуснинг учида ётади.
Б у учёқнинг қирраси гиперболоид ичида ва қолга ва қирралари ассимтотик конусдан ташқарида ётсин. У ҳолда учёқнинг қирраси гиперболоид устида М нуқтани чизади. ва қирралари орқали ўтувчи текислик гиперболоид билан кесишиши натижасида кесимида тўғри чизиқ ҳоси бўлади. ва қирралари орқали ўтувчи текислик ва ва қирралари орқали ўтувчи текисликлар гиперболоид билан кесишиши натижасида кесимида мос равишда ва тўғри чизиқлар ҳосил бўлади. Бу икки тўғри чизиқ М нуқтада кесишади ва тўғри чизиқ билан кесишмайди (9-расм).
Демак, М нуқтадан ўтувчи ва тўғри чизиқ билан кесишмайдиган иккита ва тўғри чизиқлар бор экан.
Бу текислик учун Лобачевский аксиомаси бажарилади.
Енди гиперболоид устидаги параллел тўғри чизиқларни кўрсатамиз.
Б изга юқоридаги гиперболоид ва ва ассимтотик конус учи орқали ўтувчи текисликлар берилган бўлсин. Бу текисликлар кесишишидан ҳосил бўлган тўғри чизиқ (Евклид маъносида) гиперболоиднинг ассимтотик конуси ясовчисида ётсин. Яъни, икки текислик ассимтотик конуснинг ясовчиси бўйлаб кесишсин. У ҳолда тўғри чизиқ (Евклид маъносида) текисликлар ва гиперболоид кесишишидан кесимида ҳосил бўлган икки ва Лобачевский тўғри чизиқлари умумий ассимтотага эга бўлган гиперболалар шаклида бўлади. Бу икки тўғри чизиқ кесишадиган ҳам кесишмайдиган ҳам тўғри чизиқлар синфига кирмайди. Шунинг учун бу икки тўғри чизиқ параллел тўғри чизиқлар деб аталади (10-расм).
А ссимтотик конусда бирор ясовчини танлаб олайлик. Шу ясовчи орқали ўтувчи тўғри чизиқлар тўпламидан гиперболоид билан кесишувчи текисликларни қарайлик. Бу текисликларнинг ҳар бири гиперболоидни бир Лобачевский тўғри чизиғи бўйлаб кесади. Бу тўғри чизиқлар Лобачевский текислигининг ўзаро параллел тўғри чизиқларини ташкил этади (11-расм).
Бизга юқоридаги учта текисликлар ўзаро кесишишидан ҳосил бўлган учёқ берилган бўлсин. Бу учёқнинг қирраси гиперболоид ичида ётсин. У ҳолда бу қирра гиперболоид устида М нуқтани ясайди. Қолган икки ва қирралари эса гиперболоиднинг ассимтотик конусининг ясовчисида ётсин. У ҳолда ва қирралари орқали ўтувчи текислик гиперболоид билан кесишишидан кесимида тўғри чизиқ ҳосил бўлади. Шунингдек ва қирралари орқали ўтувчи текислик ва ва қирралари орқали ўтувчи текисликлар гиперболоид билан кесишиши натижасида кесимида мос равишда l₁ ва l₂ тўғри чизиқлар ҳосил бўлади. Бу икки тўғри чизиқ М нуқтада ў заро кесишади ва тўғри чизиқ билан кесишмайди (12-расм).
Келтирилган 12-расм тўғри чизиқдан ташқарида ётган М нуқтадан унга параллел икки тўғри чизиқ ўтишини кўрсатади. Бу эса Лобачевский аксиомасининг бажарилишини яни бу текисликнинг гиперболоид устидаги талқинини кўрсатади.
Фойдаланилган адабиётлар рўйхати

1. 
   “Қадимги фанга замонавий назар” А. Артиқбоев. ФМИ журнали 2004 йил
   
2. 
   Б. А. Розенфельд “Неевклидовы пространство” Издалество “Наука” Москва 1969
   
3. 
   Н. В. Ефимов “Высшая геометрия” Издалество “Наука” Москва 2004
   
4. 
   Н. Ғайбуллаев “мактабда ноевклид геометрия елементлари”
   
5. 
   А. Аъзамов, Б. Ҳайдаров, Е, Сариқов, А, Қўчқоров, У. Сагдуллаев Геометрия. Умумтаълим мактабларининг 7-синфи учун дарслик. Тошкент. Янгийўл полиграф. 2017 йилю
   
6. 
   В. Ф. Кагон “Лобачевский и его геометрия” Государственное издательство технико-теоретической литературқ Москва 1955.