Лобачевский текислигининг гиперболоид устидаги талқини Ҳатамов И. М., Файзуллаев Ш. У

А ксиома. Тўғри чизиқ ва унда ётмаган нуқта берилган бўлсин. Бу нуқтадан берилган тўғри чизиқ билан кесишмайдиган иккита тўғри чизиқ ўтказиш мумкин (1-расм).
Бунда тўғри чизиқлар тўғри чизиқ билан кесишмайдиган тўғри чизиқлар.
Табиийки Евклид (мактаб) геометрияси доирасида бундай параллелликни тасавур қилиш қийин.
Ушбу мақоланинг асосий мақсади Лобачевский аксиомасини евклид геометрияси доирасида, яъни евклид геометрияси элементлари ёрдамида тасавур қила олиш имконини яратиш.
Аввало биз шу аксиомадан келиб чиқиши мумкин бўлган тасдиқлар билан танишамиз.
1-тасдиқ. Берилган нуқтадан тўғри чизиқ билан кесишмайдиган чексиз кўп тўғри чизиқ ўтказиш мумкин(2-расм).
Бу тасдиқ исботини ушбу чизма орқали тушунтирамиз.
Аксиомага кўра - кесишмайдиган тўғри чизиқлар бўлсин. Бу тўғри чизиқлар хосил қилган вертикал бурчаклардан - нуқтадан ўтувчи ва билан кесишмайдиган - тўғри чизиқ ўтказамиз. Бу тўғри чизиқ тўғри чизиқ билан кесиша олмайди. Чунки Т тўғри чизиқ билан кесишиши учун билан кесишиши керак бўлади. Бундай бўлиши мумкин эмас, чунки унинг кесишиши, аслида устма-уст тушишини кўрсатади. Бундай - тўғри чизиқни чексиз кўп ҳолда ўтказиш мумкин.
Т ўғри чизиқ ва унда ётмаган нуқта орқали тўғри чизиқ билан кесишадиган тўғри чизиқлар ҳам ўтади.

Масалан (3-расмда) тўғри чизиқлар тўғри чизиқ билан кесишувчи тўғри чизиқлардир.
Демак - нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқлар дастасида тўғри чизиқни кесувчи ва - билан кесишмайдиган (МТ) тўғри чизиқлар мавжуд экан.
Таъриф. Берилган _{тўғри чизиқда ётмаган} - нуқтадан ўтувчи , тўғри чизиқлар дастасида _{тўғри чизиқ билан кесишувчи ва тўғри чизиқ билан кесишмайдиган тўғри чизиқлар тўпламини чегараловчи тўғри чизиқ тўғри чизиққа параллел тўғри чизиқ деб аталади.
Бу Лобачевский текислигидаги тўғри чизиқларнинг параллеллиги таърифи, евклид текислигидаги параллеллик тушунчасидан тубдан фарқ қилади. Лобачевский текислигида кесишмаслик тушунчаси ва параллеллик тушунчаси ҳар хил тушунчалардир.
Келтирилган таърифни қаноатлантирувчи тўғри чизиқ ягона бўлмайди.}