Лекция 9 Тема Линии второго порядка. Общее уравнение Определение. Уравнение с двумя переменными вида Ax

§5. Парабола
I Каноническое уравнение параболы
Определение 1. Параболой называется линия, которая в некоторой ДПСК имеет уравнение

где p – некоторое положительное число.
Рассмотрим параболу (1). Т.к. замена y на (–y) не изменяет уравнения, это означает симметрию линии относительно оси Ox. В верхней полуплоскости уравнение (1) равносильно уравнению
. (3)
При x<0 корень не существует, следовательно, левее оси ординат ни одной точки параболы (1) нет. При x=0 получаем y=0: начало координат является самой “левой” точкой параболы (1) и с возрастанием x от 0 до
y возрастает аналогично. Методы математического анализа позволяют выяснить, что линия (3) выпукла вверх и в начале координат касается оси ординат. Асимптот у параболы нет.


II Определяющее свойство параболы
Для параболы (1) рассмотрим точку , которую назовем фокусом параболы, и прямую , которую назовем директрисой. И пусть точка M(x,y)–произвольная точка параболы (1) т.е. x≥0, а y²=2px. Найдем расстояние от M до F и до d:



Итак, точки параболы равноудалены от фокуса и директрисы.
Это свойство (как и в случае эллипса и гиперболы) можно взять в качестве определения.
Определение 2. Парабола есть геометрическое место точек (плоскости) равноудаленных от данной точки (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой).
Исходя из этого определения, получим каноническое уравнение, для чего обозначим расстояние от фокуса F до директрисы d через p, а ДПСК выберем следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно к директрисе и будем считать ее направленной к фокусу от директрисы, а начало координат поместим посередине между F и d. В этой системе: и . Пусть теперь M(x,y) текущая точка параболы (определение 2). Заметим сразу, что M не может находиться левее оси ординат, ибо в этом случае d(M,F)>d(M,d). Найдем эти расстояния:



здесь – проекция M на директрису. Приравняем (в соответствии с определением 2) полученные расстояния и для упрощения возведем обе части полученного равенства в квадрат (посторонние корни не появятся; почему?). После упрощения получим каноническое уравнение (1): y²=2px.
Замечание 1. Уравнение (2) получим, если ось Oy провести через F перпендикулярно к d и от d к F. Кроме уравнений (1) и (2) рассматривают еще два уравнения y²= –2px – ось Ox направлена от F к d, и x²= –2py – ось Oy направлена от F к d .


III Элементы параболы
Ось симметрии – это просто ось параболы. Точка пересечения параболы со своей осью – это вершина параболы. Если M – точка параболы, то отрезок MF и его длина r называется фокальным радиусом точки M. Очевидно, что для параболы (1) . К элементам параболы относят также фокус и директрису.


З амечание 2. Параметр параболы p имеет еще один наглядный смысл. Проведем че- рез фокус прямую, перпендикулярную к оси параболы и пусть M и N –это точки пересечения прямой с параболой. Тогда
.
Таким образом, p характеризует “ширину” области, ограниченной параболой ( при
условии, что эта ширина измеряется перпендикулярно к оси на определенном расстоянии от вершины).


IV Нормальное уравнение параболы
Если вершина параболы имеет координаты (x₀,y₀), а ось параллельна оси Ox, то ее уравнение имеет вид:
.
Если же ось параллельна Oy, то
.
Типовые задачи. 1). Составить каноническое уравнение параболы, зная некоторые ее элементы. 2). От общего уравнения y²+8x–6y–7=0 перейти к нормальному и найти элементы параболы. 3). Исходя из определения 2, найти уравнение параболы, у которой фокус F(1;1), а уравнение директрисы x+y+2=0. (Заметим, что при решении этой задачи получим общее уравнение, в котором присутствует член, содержащий произведения переменных, из-за того, что ось параболы не параллельна ни одной из координатных осей).