Лекция 9 Тема Линии второго порядка. Общее уравнение Определение. Уравнение с двумя переменными вида Ax

§6. Касательные к кривым 2^го порядка
I Определения
Касательную к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе можно определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку, за исключением двух случаев: 1) прямая, параллельная асимптоте гиперболы, пересекает ее в одной точке, но не является касательной; 2) прямая, параллельная оси параболы, пересекает параболу в одной точке, но не является касательной.
Касательную к окружности можно определить и как прямую, проходящую через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку.
II Уравнения касательных
Методами математического анализа можно получить (нужно уметь!) уравнения касательных к линиям, заданными своими каноническими уравнениями. Пусть точка (x₀ ,y₀) лежит на линии. Тогда:

1. 
   касательная к эллипсу имеет вид ;
   
2. 
   касательная к гиперболе имеет вид ;
   
3. 
   касательная к параболе y²=2px имеет вид y₀y=p(x+x₀).
   

Замечание. Окружность понимаем как частный случай эллипса.


III Некоторые свойства касательных

1. 
   Фокусы эллипса расположены по одну сторону от любой его касательной, а фокусы гиперболы – по разные стороны.
   
2. 
   Фокальные радиусы любой точки эллипса (гиперболы) образуют равные углы с касательной, проходящей через эту точку.
   
3. 
   Произведение расстояний от фокусов эллипса (гиперболы) до любой касательной к линии есть величина постоянная.
   
4. 
   Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится пополам точкой касания.
   
5. 
   Площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе и ее асимптотами, есть величина постоянная.
   
6. 
   Касательная к параболе в любой ее точке образует равные углы с фокальным радиусом этой точки и лучом, исходящим из нее и идущим параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.
   
7. 
   Касательные к эллипсу (гиперболе), проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.