Лекция 9 Тема Линии второго порядка. Общее уравнение Определение. Уравнение с двумя переменными вида Ax

§4. Гипербола
I Каноническое уравнение гиперболы
Определение 1. Гиперболой называется линия, которая в некоторой ДПСК имеет уравнение
(1)
где a и b – некоторые положительные числа.
Гипербола (как и эллипс) симметрична относительно обеих осей координат. В первой четверти уравнение (1) эквивалентно уравнению
. (2)
При гипербола (2) не существует, y(a)=0 и при стремлении x в , у также стремится в . Чтобы выяснить характер этого стремления, рассмотрим прямую и найдем расстояние d(M,p), где M(x,y)– текущая точка гиперболы (2):

Умножая и деля полученное выражение на , получим
.
Теперь нетрудно заметить, что при , т.е. гипербола (2) приближается к прямой p. Эту прямую ( а с ней и прямую в
силу симметрии) называют асимптотой гиперболы.
II Определяющее свойство гиперболы
Обозначим и рассмотрим точки F₁(–c;0) и F₂(c;0) (их называют фокусами гиперболы). Можно доказать (докажите!), что для любой точки M гиперболы (1) имеет место соотношение
.
Как и для эллипса, это свойство можно взять за определение и получить каноническое уравнение (1) в некоторой ДПСК.
Определение 2. Гипербола есть геометрическое место точек (плоскости), для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (называемых фокусами гиперболы) есть величина постоянная
(меньшая расстояния между фокусами).
III Элементы гиперболы
Оси симметрии гиперболы называют, обычно, просто ее осями, а точку их пересечения – центром гиперболы. Для канонической гиперболы – это оси координат и начало координат. Точки пересечения гиперболы со своими осями – это вершины гиперболы. Гипербола (1) имеет две действительные вершины A₁(–a;0) и A₂(a;0) и две “мнимые” вершины B₁(0;–b) и B₂(0;b). Отрезок A₁A₂ и его длина 2а называется действительной осью гиперболы (1), а отрезок B₁B₂ и его длина 2b – мнимой осью (a и b – полуоси, действительная и мнимая). Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали этого прямоугольника – прямые – это асимптоты гиперболы.


Для любой точки M гиперболы
отрезки MF₁ и MF₂ и их длины
r₁ и r₂ называются фокальными
радиусами этой точки.
Гипербола состоит из двух частей,
которые называются ветвями.


IV Нормальное уравнение гиперболы
Гипербола, центр которой имеет координаты (x₀;y₀), а оси парал- лельны координатным осям, имеет уравнение
. (3)
Фокусы этой гиперболы лежат на прямой y=y₀.
Замечание 1. Уравнение вида
(4)
также определяет гиперболу. Ее фокусы и действительные вершины лежат на оси Oy. Гиперболы (1) и (4) в одной и той же системе координат и при одних и тех же значениях полуосей a и b называются сопряженными друг с другом.
Замечание 2. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней. Каноническое уравнение такой гиперболы пишут в виде
x²–y²=a². Ее асимптоты взаимно перпендикулярны.
Типовые задачи аналогичны задачам для эллипса.