Лекция № Основные сведения об управлении План Основные понятия и определения. Процессы и сигналы

П ример: Misol





Лекция 6. Устойчивость ДСАУ
1. Понятие устойчивости ДСАУ.
2. Признак устойчивости
3. Аналог критерия устойчивости Гурвица.


1. Понятие устойчивости ДСАУ.

Основным этапом проектирование ДС является определение её устойчивости. В процессе функционирование к системам влияет различные внешние воздействие, которые выводит системы из равновесного состояния. Если система способна возвращаться к равновесному состоянию после прекращения внешних воздействий, то такая система является устойчивой системой. Устойчивость характеризует работоспособности системы.

Известно, что движения ДС состоит из двух частей:
(1)
Здесь n – номера тактов;
это вынужденная движения, которая определяется динамические свойства системы и внешнее воздействие;
это свободное движение, которое завысить от динамических свойств системы и начального состояния.
Динамика ДС в общем виде описывается разностным уравнением:
(2)
Здесь y[n] – выходной сигнал или искомая функция;
х[n] – входной сигнал или внешнее воздействие;
m – порядок разностного уравнения;
а₀, …, а_m, b₀, …, b_k, - постоянные коэффициенты.
Решение этого уравнение состоит из двух частей:
(3)
Здесь это частное решение и характеризует вынужденной движения системы;
это общее решение, которой характеризует свободной движения системы.
Система будет устойчиво, если с течением времени свободные движение затухает.
(4)
Для нахождения общего решения РУ (2) левая часть приравнивается к нулю:
(5)
Применяя Z – преобразование к уравнению (5), получим:
(6)
Это уравнение называется характеристическим уравнением исследуемой системы.
Решая характеристического уравнения, находим корни:
z₁, z₂,…, z_m,
Тогда общий решения уравнения (5) имеет следующий вид:
(7)
Здесь А_i – постоянные коэффициенты, которое определяется из начальных условий;
z_i – корни характеристического уравнения.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы с течением времени общие решение РУ приравниваются к нулю.
(8)

Чтобы это условие выполнялись, корни характеристического уравнения должны по модулью меньше единиц:
(9)
Пример: Дано характеристическое уравнение: . Определить устойчивость системы.
Решение:
; ; ;


; Система неустойчиво.
Для графической интерпретации определения место положения корней характеристического уравнения в плоскости, характеристического уравнения приводится к следующему виду:
(10)

Для устойчивости ДСАУ необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения находились внутри единичного круга.

С увеличением порядка характеристического уравнения определение устойчивости исследуемой системы усложняется. Поэтому таких случаю используется различных критерия устойчивости. Но непосредственно алгебраический и частотный критерии устойчивости для ДС не применим. Так, как характеристические уравнения имеет трансцендентный вид. Поэтому используется аналоги этих критериев. Для определения устойчивости ДС широко применяется аналог критерии устойчивости Гурвица. Для этого осуществляется билейное преобразование
,
которое позволяет исследовать системы в области ω.