Лекция № Основные сведения об управлении План Основные понятия и определения. Процессы и сигналы

Лекция 4. Математический аппарат исследования ДСАУ. DABSlarni tadqiq etishning matematik apparati

1. 
   Z-преобразование и его свойства. Z-almashtirish va uning xossalari.
   
2. 
   Определение Z-изображений различных функций. Turli funksiyalarning Z-tasvirini aniqlash
   
3. 
   Дискретная передаточная функция. Diskret uzatish funksiyasi.
   

Известно, что для облегчения решения задачи исследования линейных непрерывных систем используется преобразование Лапласа

Ma’lumki, chiziqli uzluksiz sistemalarni tadqiq etish masalalarini yechishni osonlashtirish uchun Laplas almashtirishidan foydalaniladi:

Аналогично, для облегчения решения задачи анализа и синтеза дискретных систем используется z-преобразование. При этом осуществляются следующие замены:
Xuddi shunday diskret sistemalardagi analiz va sintez qilish maslalarini yechishni osonlashtirish uchun Z-almashtirishdan foydalaniladi. Buning uchun quyidagi almashtirishlar amalga oishiriladi:
  , t  nT, e^pt  z,
тогда z-изображение решетчатой функции определяется по формуле:
u xolda panjarali funksiyaning Z-tasviri quyidagi formuladan aniqlanadi:
.
Здесь: bu yerda: х[nT] – решетчатая функция; x[nT] – panjarali funksiya;
х[z] – изображение этой функции; x[z] – uzluksiz funksiyaning tasviri;
n – номер такта. n –takt nomeri.
Символически z – преобразования представляется следующим виде:
Simvolik tarzda Z-almashtirishi quyidagi kо‘rinishda bо‘ladi:
x[z] = Z{x[nT]}
Обратная z – преобразования имеет следующий вид:
Teskari Z-almashtirishi quyidagi kо‘rinishda bо‘ladi:
x[nT] = Z^-1{x[z]}
z – преобразования применим для тех решениях функций если имеет сходящий характер.
Z-almashtirishini yaqinlashuvchi funksiyalar uchun qо‘llash mumkin:
z – преобразования имеет следующие свойства:
Z-almashtirishi quyidagi xossalarga egadir:
1) Свойства линейности: Chiziqlilik xossasi
Линейная комбинация решетчатой функции равно линейной комбинации их изображения.
Panjarali funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ularni tasvirlarining chiziqli kombinatsiyasiga tengdir.


2) Свойства запаздывания и опережения: Kechikish va ilgarilab ketish xossasi:
если х[n] = x[n - m], то z – изображения х[z] = x[z]z^-m
agar x[n] = x[n - m] bо‘lsa, u holda uning z – tasviri x[z] = x[z]z^-m ga teng bо‘ladi
если х[n] = x[n + m], то z – изображения х[z] = x[z]z^m
agar x[n] = x[n + m] bо‘lsa, u holda uning z – tasviri x[z] = x[z]z^m ga teng bо‘ladi

3) Свойства умножения: Kо‘paytirish xossasi:

Если

С помощью этих свойств можно решить различные задачи, т.е. определения z – изображение различных функции и уравнения.
Yuqoridagi xossalardan foydalanib turli masalalarni yechish mumkin, ya’ni turli funksiya va tenglamalarni z – tasvirini aniqlash mumkin.
1-пример: Пусть дано решетчатая уравнения: Bizga ayirmali tenglama berilgan bulsin

Требуются найти его z – изображение. Ushbu tenglamaning z – tasviri topilsin.