Лекция № Основные сведения об управлении План Основные понятия и определения. Процессы и сигналы

Лекция № 9. Автоматик бошқариш системаларининг турғунлиги
Устойчивость систем автоматического регулирования (САР)

1. 
   Турғунлик тушунчаси. Понятие устойчивости.
   
2. 
   Турғунлик белгилари. Признаки устойчивости.
   
3. 
   Турғунлик мезонлари. Критерии устойчивости.
   
4. 
   Турғунликнинг алгебраик мезонлари. Алгебраические критерии устойчивости.
   

1. Турғунлик тушунчаси. Понятие устойчивости.
Маълумки, системанинг харакати жараёнида унга мувозанат холатидан чиқариши мумкин бўлган турли хил ташқи таъсирлар таъсир этади
Известно, что в процессе функционирования системы на нее влияют различные внешние воздействия, которые могут выводить систему из равновесного состояния.
Турғунлик – бу ташқи таъсирлар натижасида ўз мувозанат ҳолатидан чиқарилганда системанинг яна мувозанат ҳолатига қайтиш хусусиятидир. АВСда кечаётган жараённинг харакати 2 та ташкил этувчилардан иборатдир. Турғунлик системанинг ишлаш қобилиятини характерлайди.
Устойчивость – это есть способность систему возвращаться к равновесному состоянию, будучи выведенной из него после прекращения внешнего воздействия. Процессы, протекающие в САР, определяются движением системы, которое состоит их двух составляющих:
(1)
(1)
бу ерда x_м(t) – системанинг мажбурий харакати бўлиб, системанинг ва ташқи таъсирларнинг хусусиятини ифодалайди; x_э(t) – системанинг эркин харакати бўлиб, системанинг динамик хусусиятини ва бошланғич шарларини ифодалайди.
где x_в(t) - вынужденное движение, которое определяется свойством системы и внешнего воздействия; x_св(t) - свободное движение, которое определяется динамическим свойством системы и начальных условий.
Система турғун бўлиши учун вақт мобайнида унинг эрикн харакати сниши керак.
Системы будет устойчива, если течением времени свободная составляющая затухает:
(2)


(2)

Обычно движение системы описывается дифференциальным уравнением
₍₃₎
Решение уравнения (3) состоит из 2-х частей
(4)
y_ч(t) - частное решение, которое характеризует вынужденное движение системы;
y_о(t) - общее решение, которое характеризует свободное движение системы.
Система будет устойчива, если
.
Общее решение дифференциального уравнения ищется в следующем виде:
(5)
с_i – постоянны коэффициенты, которые определяются из начальных условий;
n – порядок дифференциальных уравнений;
s_i – корни характеристического уравнения: s_i =  j.
Характеристическое уравнение получается путем замены правой части уравнения (3) нулем, а (d/dt)→s. Применив преобразование Лапласа к уравнению (3) получим:
₍₆₎
Решая уравнение, находим его корни, s_i =  j.
(8)
Для того, чтобы общее решение дифференциального уравнения стремилось к 0, значение _I < 0, т.е. вещественная часть корней характеристического уравнения должна быть отрицательная. Для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вещественная часть всех корней характеристического уравнения должна быть отрицательной.
Пример 1. Дано характеристическое уравнение системы

Определить устойчивость системы.

т.к. значение вещественной части <0, то система устойчива.
Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения отрицательный, то система не устойчива!
Пример 2.
система не устойчива.

С увеличением порядка характеристического уравнения его решение усложняется, тогда используются различные критерии устойчивости.

Критерии устойчивости САР делятся на две группы: 1. Алгебраические, 2. Частотные.
К алгебраическим относятся: критерий устойчивости Гурвица, критерий устойчивости Рауса, критерий устойчивости Льенаро-Шапиро, D-разбиение.
К частотным: критерий устойчивости Михайлова, критерий устойчивости Найквиста, логарифмический критерий устойчивости.
Критерий устойчивости Гурвица
Исходными данными для этого критерия является характеристическое уравнение исследуемой системы.

_{Затем составляется матрица Гурвица:}
1. В качестве диагональных элементов этой матрицы берутся коэффициенты характеристического уравнения начиная с а₁.

2. По столбцам этой матрицы устанавливаются коэффициенты характеристического уравнения с индексами к которым прибавляется 2.

3. По строкам этой матрицы устанавливаются коэффициенты характеристического уравнения с индексами которые меньше на 1.

4. Затем определяются определители различных порядков

Если все определители положительные, то исследуемая система устойчива.
Пример 3.

_{a0 = 3; a1 = 4; a2 = 1; a3 = 5.}

Система не устойчива.