Лекции: Кориков Анатолий Михайлович Пр занятия: Ефремов Александрович Томск, 2015

3. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ

• Схема Бернулли

• Вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз:

3. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ (Пуассоновское приближение для биномиального распределения)

• Теорема Пуассона

• Симеон Дени Пуассон
• 1781-1840

• Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравнительно небольшом числе испытаний n.
• При больших значениях n пользоваться этой формулой затруднительно.
• Еще большая проблема возникает, если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность успеха мала.

• Рассмотрим классическую схему Бернулли с большим числом испытаний
• и малой вероятностью появления события:

3. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ (Пуассоновское приближение ,,,)

• Теорема Пуассона

• Пусть так, что
• Тогда для любого вероятность получить k успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха pn стремится к величине
• Действительно,

Пуассоновское приближение для биномиального распределения

3. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ (Пуассоновское приближение ...)

• Теорема Пуассона

• Распределение Пуассона:
• При решении конкретных задач понятия число испытаний – «велико» и вероятность успеха – «мала» – субъективные. При более строгом подходе воспользуемся оценкой погрешности формулы Пуассона:

3. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ (Пуассоновское приближение ...)

• Теорема Пуассона (

• Пример 5.
• На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0.0001. Какова вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три битых бутылки?
• Решение. Воспользуемся формулой Пуассона, учитывая, что n=100000, p=0,0001 и λ=np=10:
• Вычислим погрешность:
• Т.о., искомая вероятность равна: