Квантовая Теория Твердого Тела

Квантовая Теория Твердого Тела. Ч.II
Лекция 1

Введение

В первой части курса были рассмотрены электроны в твердом теле, и было показано, как статистика Ферми-Дирака и периодический потенциал существенно меняют свойства системы электронов. В данном курсе лекций рассмотрим разнообразные физические свойства твердых тел.

Гармонические колебания кристаллической решетки

Упругая волна в изотропной среде

Запишем второй закон Ньютона для упругой среды с внутренними напряжениями [1 стр. 124]:

(1)

где   – плотность среды,   – смещение точки вдоль оси  ,   - тензор напряжений. Также вспомним, что в упругой среде справедлив закон Гука:

(2)

где   – тензор относительных деформаций,   - модуль Юнга. Если деформация происходит вдоль оси  , тогда:

(3)

В общем случае, уравнение движения изотропной упругой имеет вид:

(4)

Волновое уравнение плоской упругой волны в бесконечной изотропной среде, где   зависит только от   и  , т.е. когда в уравнении (4) отсутствуют производные по   и  , делится на три части, для каждого из компонент вектора  :

	(5)
	(6)

где   - скорость продольных волн (longitudinal),   - скорость поперечных волн (transversal),   – коэффициент Пуассона – отношение поперечного сжатия к продольному расширению. При этом справедливо неравенство:

(7)

Оценим скорость продольных волн в железе, для этого возьмем типичные значения параметров для этого материала:

(8)

Это число дает оценку скорости звука в железе.
Таким образом, решение волнового уравнения для упругой волны в бесконечной изотропной среде будет иметь 3 решения: 1 – для продольной волны и 2 – для поперечной. При этом скорость продольной волны всегда больше скорости поперечной.
Будем искать решение волнового уравнения (5) в виде  . Тогда, после подстановки получим известное соотношение:

(9)

Рисунок 1