Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish

i1 j1
boʻlsin. Uni quyidagicha yozish mumkin:
n1

f  (x , x ,..., x )  2_a x x  a x²

1 2 n1


i1
in i n nn n
.

^f forma musbat aniqlangan boʻlsin. U holda induktiv farazga koʻra ^ formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat. ^f formaning oxirgi bosh minori, ya’ni ^A matritsa determinantining qat’iy musbatligi quyidagi mulohazadan kelib chiqadi: ^f forma musbat aniqlanganligi sababli u xosmas chiziqli almashtirish yordamida ⁿ ta musbat kvadratlardan tuzilgan normal koʻrinishgakeladi. Bu normal
koʻrinishning determinant qat’iy musbat, shu sababli ^f formaning determinanti ham qat’iy musbat.
Endi ^f formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat boʻlsin. U holda ^
formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat boʻlgani uchun induktiv farazga

koʻra ^ forma musbat aniqlanganligi kelib chiqadi, ya’ni
x₁, x₂ ,..., x_n1

noma’lumlarning shunday chiziqli almashtirishi mavjudki, u yangi ^ formani

y₁, y₂ ,..., y_n1
noma’lumlarning
n  1
ta kvadratlari yig‘indisi ko’rinishiga keltiradi.

Bu chiziqli almashtirishni,
^{xn  yn} , deb farazqilib, barcha
x₁, x₂ ,..., x_n

noma’lumlarning chiziqli almashtirishigacha toʻldirish mumkin. Bu chiziqli almashtirishdan soʻng quyidagi koʻrinishga keladi:
n1 n1

f  _ y²  2_b y y

• 
  b y²
  

i1
i in i n nn n i1 _.

^bin ning aniq koʻrinishi biz uchun muhim emas.
^{y2  2b y y }  ^{y  b y} 2 ^{ b2 y2}
i in i n i in n in n

boʻlgani uchun formani
z_i  y_i  b_in y_n , i 1,2,...,n 1,


n1
z_n  y_n
chiziqli almashtirish ^f

i n
f  _ z²  cz²
i1

(6)

kanonik koʻrinishga keltiradi.
^f formaning musbat aniqlanganligini koʻrsatish uchun ^c sonning musbatligini koʻrsatish yetarli. Koʻrinib turibdiki, (6) formaning determinanti ^c ga teng. Bu determinant esa musbat. Chunki farazga asosan ^f formaning bosh determinanti
musbat va xosmas chiziqli almashtirishlarda forma determinantining ishorasi oʻzgarmaydi.

Masalan, ^f
 5x²  x²  5x²  4x x
 8x x

• 
  4x x
  

kvadratik forma musbat

1 2 3 1 2 1 3 2 3
aniqlangan, chunki uning bosh minorlari musbat:

5 2
5, ^{5 2}  1, 2 1
4
2  1.

2 1 _4
2 5

f  3x²  x²  5x²  4x x
 8x x

• 
  4x x
  

kvadratik forma musbat aniqlangan

1 2 3 1 2 1 3 2 3
^{3 2}  1
emas, chunki uning ikkinchi minori manfiy: ^{2 1} .
Ikki noma’lumli ikkinchi darajali tenglamaning umumiy koʻrinishi quyidagicha boʻladi:

Ax²  2Bxy  Cy²  2Dx  2Ey  F  0
(7)

7. 
   tenglama bilan aniqlanuvchi nuqtalarning geometrik oʻrnini koʻrib chiqamiz. Buning uchun (7) tenglamaning koeffitsiyentlaridan quyidagi ikkita:
   

 

determinantni tuzamiz.

1. 
   B _,
   
2. 
   C
   

A B D
  B C E
D E F

Bu yerda ^{ } (7) tenglamaning diskriminanti, ^{ } uning yuqori tartibli hadlarining diskriminanti deyiladi. ^ va ^ larning qiymatlariga qarab (7) tenglama quyidagi geometric formalarni aniqlaydi:

	 0	 0
  0	Ellips (haqiqiy yoki mavhum)	Nuqta
  0	Giperbola	Ikkita kesishuvchi toʻg‘ri chiziq
  0	Parabola	Ikkita parallel toʻg‘ri chiziq (haqiqiy yoki mavhum parallel toʻg‘ri chiziq)

Masalan,
x²  y²  0
ikkita kesishuvchi toʻg‘ri chiziqni aniqlaydi, chunki bu

yerda
  1,   0 _;
(x  y)² 1
ikkita parallel toʻg‘ri chiziqlarni aniqlaydi, chunki

bu yerda
  0,   0 _;
x²  y²  0
bitta nuqtani ifodalaydi chunki bu yerda

  1,   0 _.
Yuqorida jadvalda keltirilgan ikkinchi tartibli egri chiziqlarning har birini alohida-alohida koʻrib chiqamiz.

1. 
   Ax²  2Bxy  Cy²  2Dx  2Ey  F  0
   

kvadratik formada
  0,   0

bo’lsin. U holda jadvalga asosan kvadratik forma ellipsning tenglamasi bo’ladi. Biz ellipsning xususiy hol aylanani ko’rishdan boshlaymiz.

2. 
   ta’rif. Tekislikda belgilangan
   

M (a,b)
nuqtadan bir xil ^R masofada yotgan

nuqtalarning geometrik oʻrni aylana deb ataladi.

Aylananig tenglamasi
(x  a)²  ( y  b)²  R²
ko’rinishda bo’lib, bu yerda

^{M (a,b)} nuqta aylana markazi, ^R masofa esa aylana radiusi deb ataladi.

4. 
   misol.
   

^x2 ^{ y}2 ^{ 6x  7  0} tenglama bilan berilgan aylananing markazi

koordinatalarini va radiusini toping.

Yechish. Tenglamada ^x va ^y ga nisbatan toʻla kvadrat ajratamiz:

(x  3)²  y²  4² _{. Bundan} topamiz.
R  4
aylana radiusini va
M ₀ (3,0)
aylana markazini

4. 
   misol.
   

^{M (0,3)} nuqtadan ^x2 ^{ y}2 ^{ 6x  4y 12  0} aylanagaoʻtkazilgan urinma

tenglamasini toping.
Yechish. Urinma tenglamasini


y  kx  3

toʻg‘ri chiziq koʻrinishida izlaymiz.

Chunki u (0,3) nuqtadan oʻtadi. Aylana tenglamasini kanonik koʻrinishga keltiramiz:

, ya’ni
_ х 3_2 _ у  2_2 9  4 12  0 _ х
 3_2 
_ у 
2_2 
25 _.

Aylana va toʻg‘ri chiziqning umumiy nuqtasini topish uchun toʻg‘ri chiziq va aylana tenglamalarini birgalikda yechib, quyidagi shakl almashtirish bajaramiz:
(x  3)²  (kx  3  2)²  0  (k ²  1)x²  (10k  6)x  9  0_.
Toʻg‘ri chiziq aylanaga uringani uchun bu tenglama yagona yechimga ega boʻlishi kerak. Tenglama yagona yechimga ega boʻlishi uchun esa uning diskriminanti nolga teng boʻlishi lozim:
(5k  3)²  9(k ²  1)  0 16k ²  30k  0

k  0, k
_ 15

1 2
U holda
y  ¹⁵ x  3
⁸ . Demak, izlangan urinma tenglamalari
^{y  3}yoki

⁸ koʻrinishda boʻladi.

8-ta’rif. Har bir nuqtasidan belgilangan ^{F1 (c,0),}
F₂ (c,0)
nuqtalargacha boʻlgan

masofalar yig‘indisi oʻzgarmas ^2a songa teng boʻlgan nuqtalarninggeometrik oʻrni ellips deb ataladi.

_{Bu yerda} F₁ (c,0),
F₂ (c,0)
nuqtalar ellipsning fokuslari deb ataladi.

2
x _ y² _

_a2 _b2 ¹
(8)

7. 
   ellipsning kanonik tenglamasi deb ataladi. (8) tenglamada noma’lumlarning faqat kvadratlari qatnashgani uchun, uning grafigi ^Ox va ^Oy oʻqlariga nisbatan simmetrik joylashgan. Koordinatalar boshi uning simmetriya markazi boʻlib, koordinata oʻqlari simmetriya oʻqlari boʻladi. Fokuslar joylashgan oʻq ellipsning fokus (fokal) oʻqi deyiladi.
   

Ellipsni koordinata oʻqlari bilan kesishgan nuqtalari uning uchlari deyiladi. (8)

tenglamada
^{y  0} , deb
A₁ (a,0),
A₂ (a,0)
uchlarni,
^{х  0}, deb
B₁ (b,0),
B₂ (b,0)

uchlarni topamiz,
A₂ A₁
 2a,
B₂ B₁
 2b
kesmalar ellipsning mos ravishda katta

(fokal) oʻqi va kichik (fokal) oʻqi, deyiladi
^{a, b} kesmalar mos ravishda katta yarim

oʻq va kichik yarim oʻq deyiladi. Oʻqlari koordinata oʻqlariga parallel boʻlgan ellipsning tenglamasi
(x  x )² ( y  y )²
0 _0 _{ 1
a}2 _b2

koʻrinishda boʻladi va ^{ x0 , y0 }

ellips markazining koordinatasini ifodalaydi.

Ellips fokuslari orasidagi ^2c masofani katta oʻq ^2a ga nisbati uning

ekssentrisiteti deyiladi va ^

bilan belgilanadi:

  ^c .