Курсовая работа по математическому анализу ряды фурье и их применение

1.2. Тригонометрический полином

Простейшей тригонометрической функцией является функция . Рассмотрим функцию, которая получится, если умножить эту функцию на постоянный множитель, а аргумент заменить на линейную функцию от т.е. функцию

(5)

Это периодическая функция с периодом Имеем:


Обозначим Тогда

(6)

Определение. Отдельные функции вида (5) или (6) называются членами ряда Фурье функции (или гармониками). При этом постоянная называется амплитудой, выражение – фазой, - начальной фазой (фаза при x=0), – частотой ( - целое положительное число, связанное с периодом соотношением
График синусоидальной функции получается из графика синусоиды следующим образом:
1) растяжением по оси с коэффициентом растяжения ;
2) сжатием графика с коэффициентом сжатия ;
3) смещением полученного графика по оси на величину - (т.е. вправо при влево при ).
Пример. Построим график функции . Здесь ,
1) Построим график функции .
2) Растянем этот график по оси в 2 раза и получим график функции
, изображенный на рисунке 2.

Рис.2
3) Сжатием по оси в 4 раза получим график функции , изображенный на рисунке 3.

Рис.3
4) Сместим полученный график влево на и получим искомый график, изображенный на рисунке 4.

Рис.4
Сложение гармоник одной частоты (одного периода) дает гармонику той
же частоты. Действительно,
₁= _{1 1})= ₁ + ₁ ,
₂= _{2 2})= ₂ + ₂ ,
₁+ ₂= ₁+ ₂) + ₁+ ₂) .
Сложение гармоник с частотами, кратными , т.е. с частотами
дает более сложную периодическую функцию, чем синусоидальная функция.
Определение. Функция вида

1 1) + 2 2)+…+ n n)

(7)

называется тригонометрическим полиномом n-го порядка.
В (7) первая гармоника _{1 1})= ₁ + ₁ имеет период . Вторая гармоника _{2 2})= ₂ + ₂
имеет период ,… , n-я гармоника
имеет период . Период тригонометрического полинома (7) равен периоду первой гармоники. Действительно,


+


Таким образом, подбирая различные амплитуды и начальные фазы различных гармоник и увеличивая , можно получить разнообразные периодические функции с периодом, равным периоду первой гармоники.