Курсовая работа по математическому анализу ряды фурье и их применение

1. Ряды Фурье в действительной области

1.1. Понятие периодической функции

В природе и технике мы часто сталкиваемся с периодическими функциями времени. Процессы, связанные с работой любой машины, любого механизма, процессы и явления, изучаемые в курсе физики, электротехнике дают нам примеры такого рода величин. В настоящее время периодические функции хорошо изучены и широко используются в различных областях техники.
Определение. Число называется периодом функции если для любого из области определения функции числа также принадлежат области определения и

(1)

Из этого определения следует, что если период функции, то ее периодом будет также , где - любое целое число. Действительно,

Поэтому, обычно говоря о периоде функции, имеют ввиду наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству (1).
Например, так как

то функции и – периодические функции с периодом 2 Аналогично, в силу равенств
,
функции – периодические функции периода .
Отметим некоторые свойства периодических функций.
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т является периодической функцией того же периода Т.
Так, например, функция – периодическая функция периода
2) Если функция имеет период Т, то функция имеет период .
Действительно, для любого

(2)

Например, для функции имеем:

Следовательно, эта функция имеет период и, по предыдущему свойству, такой же период будет иметь функция
С геометрической точки зрения, умножение аргумента функции на число означает сжатие при и растяжение при графика этой функции вдоль оси .
1) Если - периодическая функция периода Т, то любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины Т, равны между собой (предполагается, что эти интегралы существуют):

(3)

Действительно,

Преобразуем последний интеграл:


Тогда

Дадим геометрическую иллюстрацию формулы (3). Построим график периодической функции. Для этого достаточно знать ее аналитическое выражение на отрезке [0; ], построить график функции на этом отрезке и затем продолжить его вправо и влево по периодическому закону. При этом, площадь криволинейной трапеции с основанием [0; ] будет равна площади криволинейной трапеции с основанием , изображенной на рисунке 1.

Рис.1
В частности, если и из (3) следует

(4)