Курсовая работа по математическому анализу ряды фурье и их применение

1.4. Тригонометрический ряд Фурье

Определение. Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке называется разложение этой функции по тригонометрической системе функций (10), т.е. ряд


Членами ряда (14) являются кратные друг другу гармоники, расположенные в порядке возрастания их частот (нулевая гармоника берется с множителем ) .
Определение. Числа — называются коэффициентами тригонометрического ряда Фурье [2].
Пусть ряд (14) равномерно сходится на и его сумма равна . Равномерная сходимость допускает почленное интегрирование ряда. Воспользуемся этим, чтобы найти коэффициенты ряда.
1) Интегрируя почленно ряд (14) будем иметь:


(равенство нулю интегралов показано ранее, при доказательстве ортогональности системы (10)). Отсюда находим

Замечание! Свободный член ряда (14) представляет собой среднее значение функции на .
2) Умножим ряд (14) на . При этом его равномерная сходимость не нарушается, так как – непрерывна на и, следовательно, ограничена на этом отрезке. Почленно интегрируя полученный ряд, будем иметь:



Следовательно,

3) Аналогично, умножая ряд (14) на и почленно интегрируя, получим:



Следовательно,

Таким образом, получили:

(15)

Найти ряд Фурье для функции – значит найти коэффициенты по формулам (15) и записать тригонометрический ряд (14) с этими коэффициентами [2].

1.4.1. Условия разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье