Курс лекций по дисциплине «Основы системного анализа и моделирование технологических процессов»

Попарное сравнение 
Формально это бинарная операция по признаку R. 
χi R χj означает, что согласно признаку R альтернатива χ
i
предпочтительней альтернативы χ
j
. 
При таком сравнении справедлива аксиома транзитивности: 

---

(χI R χj) и (χj R χk)→ (χI R χk), а также дополнительно при строгом 
предпочтении могут быть справедливы аксиомы асимметричности (из (χi R χk) 
и (χk R χi) верно может быть только одно), и антирефлективности (из (χi R χk) 
следует несовместимость χi и χk ). 
На основе бинарных отношений возможно ранжирование альтернатив 
по каждому свойству. Сравнение с использованием числовых характеристик 
(естественных или искусственно введённых). 
Свойства, для которых известны числовые характеристики, называются 
критериями. 
При идеальной декомпозиции имеет место набор критериев, т.е. имеет 
место многокритериальная задача. Очень важна аккуратность, объективность 
при вводе искусственных характеристик, что достигается при четком 
понимании физической сути изучаемого процесса. 
Например, при сравнении пассажирских самолетов выделено свойство 
«комфортность», которое, в свою очередь, разбивается на свойства 
следующего уровня: расстояние между креслами, уровень шума в самолете, 
уровень вибрации, предельные характеристики системы искусственного 
климата и др. Каждое из свойств этого уровня уже может быть оценено 
численно. 
Пример искусственных критериев – баллы как оценки экспертов. 
Искусственные оценки могут переходить в естественные. Например, на 
экзамене процент правильных ответов соответствует определенному баллу. В 
сложных случаях большого набора критериев возможна классификация – 
деление свойств на классы (группы по важности). 
Композиция оценок свойств и сравнение альтернатив 
Переход от сравнения отдельных свойств к сравнению альтернатив 
является задачей композиции. Возможны различные случаи решения этой 
задачи. 
а) Случай, когда все свойства оценены численно – получен набор 
критериев. 
Пусть C
k
(χ
i
) – численная оценка k-го свойства i-ой альтернативы, 
𝑘 =
1, 𝑛
̅̅̅̅̅
. 
Введем векторное пространство, называемое критериальным, в котором 
каждой i-ой альтернативе будет соответствовать точка: C(χ
i
) = {C
1
(χ
i
), C
2
(χ
i
),..., 
C
m
(χ
i
)}, т.е. k-ой составляющей вектора C(χ
i
) является C
k
(χ
i
)- численная оценка 
k-го свойства i-ой альтернативы. 

---

При сравнении двух альтернатив χ
1
и χ
2
альтернатива χ
1
будет 
предпочтительнее альтернативы χ
2
, если C
k
(χ
1
) ≥ C
k
(χ
2
), для всех 
𝑘 = 1, 𝑛
̅̅̅̅̅
, 
причем хотя бы одно неравенство строгое. Далее рассматривается случай, 
когда лучшему свойству соответствует большее значение численной оценки. 
В противном случае перед численными оценками свойств можно ставить знак 
«минус». 
Поясним, как можно найти предпочтительные альтернативы, используя 
критериальное пространство. Рассмотрим для этого пример, когда 
альтернативы оцениваются по двум критериям. Принимая точку, 
соответствующую i-ой альтернативе, за начало координат, перенесем в эту 
точку все координатные оси критериального пространства. Если в 
положительном октанте полученной таким образом системы координат не 
окажется ни одной точки, соответствующей какой-то другой альтернативе, то 
i-ая альтернатива является не улучшаемой. 
На рис. 4а только одна не улучшаемая альтернатива – это альтернатива 
3, на рис. 4б таких альтернатив две – 2 и 3, а на рис. 4в все альтернативы 
неулучшаемые. 
Множество неулучшаемых альтернатив – это множество Парето.

---

Получение множества Парето – 1-й шаг поиска лучшего решения. Есть 
много других, кроме рассмотренного, эффективных методов изучения 
множества Парето.
Для выбора альтернативы на множестве Парето нужно привлекать 
другие соображения, связанные с особенностями решаемой задачи.