Kurs ishining maqsadi: Analitk geometriya fani davomida Ellips va uning kanonik tenglamasidan olgan bilim ko‘nikmalarni mustaxkamlash. Ellips xossalarini chuqurroq o‘rganish. Kurs ishining ob’ekti

1- teorema (matematik induksiya prinsipi). Agar biror tasdщ uchun rost bo‘lib, uning da rost-ligidan uchun ham rostligi kelib chiqsa, tasdщ istalgan natural son uchun xam rost buladi.
Isboti. Faraz qilaylik, to‘plam tasdiq
rost bo‘lgan barcha natural sonlar to‘plami bo‘lsin. U holda teorema shartiga asosan: a) chupki uchun teorema rost; b) bo‘lsin, ya’ni tasdiq natural son uchun rost bo‘lsin. U holda teorema shartidan rost, demak, natural son dan bevosita keyin keluvchi son bo‘lganidan M to‘plam uchun 4) aksiomaning a) va b) shart-lari o‘rinli. Demak, tasdiq istalgan natural son uchun rost.
Matematik induksiya prinsipiga misollar keltira-miz.
(1)
tenglik p ning har qanday natural qiymatida to‘g‘ri ekan-ligini isbotlang.
Haqiqatan xam, bo‘lsa,bo‘lib, (1) tenglik to‘g‘ri

Bu yerda tasdiq deganda dastlabki ta natural son kvadratlarining yig‘indisini tushunamiz. Matematik in­duksiya prinsipiga asosan deb olinadi, ya’ni
(2)
tenglik to‘g‘ri bo‘ladi. Zndi ning rsstligidan foyda-lanib, ning rsstligini ko‘rsatamiz. Buning uchun (2) tenglikning ikkala qismiga ni qo‘shamiz:

Demak,
• (3)
Bu tenglik tasdikni ifodalaydi, chunki (1) dagi p ni bilan almashtirsak, (3) xrsil bo‘ladi. Demak,
(1) tenglik barcha natural sonlar uchun o‘rinli ekan.
(4)
tenglik p ning har qanday natural qiymatida to‘g‘ri ekanligini isbotlang.
(4) tenglikning to‘g‘riligini matematik induksiya prin-sipiga asosan isbotlaylik.
1) tenglik to‘g‘rn, ya’ni A (1) rost.
2) Faraz qilaylik, rost, ya’ni
(5)
tenglik to‘g‘ri bo‘lsin.
ning rostligiga asoslanib, ning rostligini ko‘rsatamiz. Buning uchun (5) tenglikning ikkala tomoniga ni qo‘shamiz:

Demak,
Bu tenglik (4) dagi p ni bilan almashtirilganligini ifodalaydi.
Demak, (4) tenglik istalgan p natural son uchun to‘g‘ri ekan.