Kurs ishi urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo‘nalishi 203-guruh talabasi sabirov jamshidning analitik geometriya va uning asoslari fanidan mavzu: ikkinchi tartibli sirtning to’G’ri chiziq va tekislik bilan kesishishi

Konus va uning kesimlari
Ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida

Ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, u konus deb ataladi.Bu tenglamada a≥b>c, c>0

munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.

Konus tenglamasidan ko’rinib turibdiki,u koordinata tekisliklariga nisbatan

simmetrik joylashgan, koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir. Bundan

tashqari, agar M₀(x₀,y_0,z₀) nuqta konusga tegishli bo’lsa, O(0,0,0) va M₀(x₀,y_0,z₀)

nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqdagi har bir nuqta konusga tegishlidir. Haqiqatan

ham, bu to’g’ri chiziqqa tegishli nuqta (tx₀,ty_0,tz₀) ko’rinishga ega va bevosita

tenglikni tekshirib ko’rish mumkin.

Konusning har bir yasovchisi bu ellipsni bir marta (faqat bitta nuqtada) kesib

o’tadi. Konusda yotuvchi va bu xossaga ega bo’lgan chiziqlar konusning

yasovchisi deyiladi. Bu ellipslarning markazlaridan o’tuvchi to’g’ri chiziq

konusning o’qi deyiladi.

Yuqoridagi kanonik tenglamada konusning o’qi OZ o’qi bilan ustma-ust

tushadi. Koordinata boshi ham konusga tegishli, konusning hamma yasovchilari bu

nuqtadan o’tadi. Konusning hamma yasovchilari o’tuvchi nuqta uning uchi deb

ataladi.

4-ta’rif. Konusni uning uchidan o’tmaydigan tekisliklar bilan kesish

natijasida hosil bo’lgan chiziqlar konus kesimlar deyiladi.

2-teorema.Aylanadan boshqa hamma konus kesimlar tekislikda berilgan

nuqtagacha bo’lgan masofasining berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasiga

nisbati o’zgarmas bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rnidir.

Isbot. Konusni α tekislik bilan kesganimizda hosil bo’lgan chiziqni γ bilan

belgilaylik. Konusga ichki chizilgan va α tekislikka urinuvchi sferaning tekislik

bilan kesishish nuqtasini F bilan belgilaymiz. Ichki chizilgan sfera konusga aylana

bo’ylab urinadi. Bu aylana yotuvchi tekislikni ω bilaan belgilaymiz. Konus

kesimga tegishli ixtiyoriy M nuqta olib, undan o’tuvchi yasovchi bilan ω

tekislikning kesishish nuqtasini B bilan belgilaymiz. Konus kesimga tegishli M

nuqtadan α va ω tekisliklar kesishishidan hosil bo’lgan σ to’gri chiziqqa

perpendikulyar o’tkazamiz. Sferaga M nuqtadan o’tkazilgan urinmalar kesmalari

bo’lgani uchun FM=BM tenglik o’rinli bo’ladi. Berilgan M nuqtadan ω

tekislikkacha bo’lgan masofani ā,b bilan belgilasak,

tengliklar o’rinli bo’ladi. Bu yerda φ- α va ω

tekisliklar orasidagi burchak, ψ- konus yasovchi va ω tekislik orasidagi burchak,

A nuqta esa M nuqtadan σ to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar asosidir.

Yuqoridagi tengliklardan

Munosabatni olamiz. Bu munosabatlardan ko’rinib turibdiki, FM/AM nisbat M

nuqtaga bog’liq emas.Teorema isbotlandi.

Konus kesim uchun F nuqta uning fokusi σ to’g’ri chiziq esa direktrisa

deyiladi. Yuqoridagi nisbat 1 dab kichik yoki teng bo’lganda konus kesimning

hamma nuqtalari fokus bilan birgalikda direktrisaning boshqa tarafida yotuvchi M’

nuqta uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Agar yuqoridagi nisbat birdan katta bo’lsa, direktrisaning

har ikkala tarafida konus kesimga tegishli nuqtalar bor. Demak,bu holda konus

kesim ikki kesimdan iborat.

Biz bilamizki, agar e<1 bo’lsa konus kesim ellips bo’ladi. Agar e=1 bo’lsa,

konus kesim parabola bo’ladi. Konus nkesim uchun e>1 bo’lganda, u giperbola

bo’ladi. Avval o’tgan mavzular ellips,giperbola va parabola mavzularimizning har

birini ikkinchi teoremaga ko’ra, konusning birorta tekislik bilan kesishishidan hosil

bo’lar ekan. Bu faktni algebraik metod bilan isbotlash ham mumkin.

Konusni z=h tenglama bilan aniqlanuvchi tekislik bilan kessak, kesimda yarim

o’qlari mos ravishda

kattaliklarga teng bo’lgan ellips hosil bo’ladi. Agar biz konusni x=h, y=h

tenglamalar orqali aniqlangan tekisliklar bilan kessak, kesimda yarim o’qlari mos

ravishda

kattalikilarga teng bo’lgan giperbolalar hosil bo’ladi. Konus kesimda parabola

hosil bo’lishini ko’rsatish uchun,uni z=(c/a)x+h, h≠0 tenglama bilan aniqlanuvchi

tekislik bilan kesamiz. Natijada kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi ikkinchi tartibli chiziqni hosil qilamiz. Koordinatalar

sistemasini almashtirish yordamida bu tenglamani

ko’rinishga keltirsak,uning parabola ekanligini ko’ramiz.