Konus kesimlari. Parabola, ellips va giperbolaning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari

M2. Konus kesimlari. Parabola, ellips va giperbolaning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari

1. 
   Koordinata boshi chiziqning uchida bo’lgan hol:
   

1. 
   Ellips kanonik ko’rinishdagi
   

(1)
tenglama bilan berilgan bo’lsa,
(2)
almashtirish bajarsak, yangi koordinatalar boshi ellipsning chap uchida joylashadi va (1) tenglama
(3)
ko’rinishga keladi. Bu tenglamani
(4)
ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda , bo’lib, munosabat bajariladi. Agar giperbolaning
(5)
tenglamasida
(6)
almashtirish bajarsak tenglama

ko’rinishda bo’lib, koeeffisientlar uchun

munosabatlar o’rinli bo’ladi. Agar tenglamada bo’lsa parabola tenglamasini hosil qilamiz.
Demak giperbolalar, ellipslar va parabolalar tenglamalarini ko’rinishda yozish mumkin.


Qutb koordinata sistemasidagi tenglamalar

a) Parabola

kanonik tenglama bilan berilgan bo’lsa, qutbni parabola fokusiga joylashtirib, qutb o’qi sifatida abssissa o’qini olib parabola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozaylik.Agar biz

almashtirishlar bajarsak

tengliklar o’rinli bo’ladi. Bu yerda nuqtaning qutb koordinatalari bo’lib, agar nuqta parabolaga tegishli bo’lsa, uning fokal radiusiga tengdir. Biz

tenglikda ning nuqtadan direktrisagacha bo’lgan masofaga tengligini hisobga olib ifodani yuqoridagi tenglikka qo’ysak

munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat parabolaning qutb

koordinatalar sistemasidagi tenglamasidir.
b) Ellipsning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun qutbni ellipsning chap fokusiga joylashtirib, abssissa o’qini qutb o’qi sifatida olamiz. Ellipsning

kanonik tenglamasini qutb koordinatalar sistemasiga o’tkazish uchun

almashtirishlar yordamida yangi dekart koordinatlar sistemasini kiritamiz. Bu koordinatalar sistemasi va qutb koordinatalar orasidagi bog’lanish boshi

formulalar yordamida beriladi. Ellipsning nuqtasi uchun chap fokal radius uning qutb radiusiga tengligidan foydalanib

tenglikni yozamiz. Bu tenglikdagi ifodani

tenglikka qo’ysak

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda

tenglikdan foydalandik.
в) Giperbola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun
uning har qismi uchun mos ravishda qutb koordinatalar sistemasi kiritamiz. Uning o’ng qismi uchun qutb boshini giperbolaning ung fokusiga joylashtiramiz va abssissa o’qini qutb o’qi sifatida olamiz.
Giperbola nuqtasi uchun qutb radiusi uning o’ng fokal radiusiga teng bo’lganligi uchun

ifodani hosil qilamiz.Biz bilamizki,agar dekart koordinatalar sistemasi uchun qutb boshi koordinata boshida joylashgan va qutb o’qi abssisa o’qi bilan ustma-ust tushsa,qutb koordinatalar sistemasi va koordinatalar sistemasi orasidagi bog’lanish

formulalar yordamida beriladi.Bu yangi koordinatalar sistemasi va giperbola tenglamasi berilgan koordinatalar sistemasi orasidagi bog’lanish esa

ko’rinishda bo’ladi.Biz bu tengliklarning birinchisidan foydalanib

tenglikni hosil qilamiz.Yuqoridagi ifodani bu tenglikga qo’ysak

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda

tenglikdan foydalandik.
Biz giperbola chap shoxining tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun qutb boshini chap fokusga joylashtiramiz va abssissa o’qini qarama-qarshi yonalish bilan qutb o’qi sifatida olamiz.Biz agar



formulalar bilan yangi dekart koordinatalar sistemasi kiritsak,ular uchun

formulalar o’rinli bo’ladi.Bu yerda qurb radiuas chap fokal radiusga teng bo’lganligi uchun

tenglik o’rinli bo’ladi.Bu tenglikdagi ning ifodasini yuqoridagi formulardan kelib chiqadiagan

tenglikga qo’yib

tenglamani hosil qilamiz.Bu yerda ham

tenglik o’rinlidir.
Demak, qutb koordinatalar sistemasida mos ravishda tanlanganda har qanday ikkinchi tartib chiziq tenglamasini

k o’rinishda yozish mumkin ekan.Bu tenglama bo’lsa parabola, bo’lganda ellips va nihoyat bo’lganda giperbola tenglamasidir.

Chizma-4