Kurs ishi urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo‘nalishi 203-guruh talabasi sabirov jamshidning analitik geometriya va uning asoslari fanidan mavzu: ikkinchi tartibli sirtning to’G’ri chiziq va tekislik bilan kesishishi

Teorema. Giperbolikn paraboloid chiziqli sirt bo’lib, uning har bir


nuqtasidan paraboloidda yotuvchi ikkita to’g’ri chiziq o’tadi.


Isbot. Giperbolik paraboloidga tegishli y=k₁x+b₁ nuqtadan o’tuvchi va

tenglamalar bilan aniqlangan to’g’ri chiziq paraboloidda yotishi uchun

tenglik parametrning har bir qiymatida bajarilishi kerak. Bu tenglikni

ko’rinishda yozib, undan

Tengliklarni hosil qilamiz. Bu tengliklardan {l,m,n} yo’nalish uchun

munosabatni hosil qilamiz. Bu yerda u=±1 tenglik bajarilgan. Demak, giperbolik

paraboloidning har bir nuqtasidan unda yotuvchi ikkita to’g’ri chiziq o’tadi.Bu

to’g’ri chiziqlarning parametrik tenglamalarini

ko’rinishda yozish mumkin. Bu parametrik tenglamalarda

munosabat bajarilsa,
bo’lganda (5) to’g’ri chiziqlar z=0 tekislikni kesib o’tadi. Bu tekislikda
tenglamalar bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziqlar ham yotadi. Demak,(5) to’g’ri

chiziq (6) to’g’ri chiziqlarning bittasini kesib o’tadi.Buni aniqlash uchun (5)

ifodalarni (6) tenglamalarga qo’ysak

tenglikni olamiz. Demak, (5) to’g’ri chiziq

to’g’ri chiziqni kesib o’tadi. Bu to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalarini

ko’rinishda yozsi mumkin. Yuqoridagi (5) va (7) to’g’ri chiziqlar kesishish

nuqtasida kesishadi va bu nuqtaga parametrning

qiymati mos keladi.
Agar t´=t-t₁ belgilashni kiritib, (5) to’g’ri chiziqning parametrik

tenglamalarini

ko’rinishda yozish mumkin.
Agar

bo’lsa, giperbolik paraboloidning (4) tenglamasidan z₀=0 tenglik kelib chiqadi.

Demak, bu holda (5) to’g’ri chiziq z=0 tekislikda yotadi. Yuqoridagi keltirib

chiqarilgan xossalarni quyidagicha yozishimiz mumkin.

Teorema. Giperbolik paraboloidning har bir yasovchisi z=0 tekislikda yotadi

yoki bu tekislikni kesib o’tadi. Yasovchining parametrik tenglamalarini

Ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda u=±1. Agar yasovchi z=0 tekislikda yotsa

τ=0, yasovchi z=0 tekislikda yotmasa.

l-(5) va (7) to’gri chiziqlarning kesishish nuqtasidan koordinata boshigacha

bo’lgan masofadir.