Kurs ishi mavzu: To’la differensial tenglama va integrallovchi ko’paytuvchi Bajardi

2-Misol. tenglamani yeching.
Bu yerda va ; va . Shunday qilib, , ya’ni berilgan tenglama to’liq differensialli bo’lib, uning chap tomoni haqiqatan ham biror funksiyaning to’liq differensiali bo’lar ekan.
Izlanayotgan funksiyani toppish uchun

Tenglamalardan birinchisini bo’yicha integrallaymiz
.
Topilgan funksiyani tenglamalardan ikkinchisiga qo’yamiz:
.

Bu tenglikdan funksiyani topadigan bo’lsak: . Shunga binoan,

bo’ladi. Berilgan tenglamaning umumiy integrali ko’rinishida yoziladi.
Mavzuni mustahkamlash uchun yana bir misol ko’radigan bo’lsak.
3-Misol. tenglamani yeching.
Tekshirish mumkinki, . Shuning uchun qaralayotgan tenglamaning chap tomoni haqiqatan ham qandaydir funksiyaning to’liq differensiali bo’lar ekan. formuladan foydalanamiz:
,
Bu yerda va – ixtiyoriy o’zgarmaslar. Integrallab topamiz:
.
Endi va – ixtiyoriy o’zgarmaslardan iborat ifodani bilan belgilaymiz. Natijada umumiy integralni olamiz.

2-§. Integrallovchi ko’paytuvchi.

1. 
   sohada aniqlangan birorta ham funksiya uchun (3)
   

tenglik o’rinli bo’lsin, ya’ni (1) differensial tenglama to’liq differensialli bo’lmasin.
2-ta’rif. Agar sohada berilgan va biror funksiyalar uchun ushbu
(8)
tenglama to’liq differensialli bo’lsa, (1) differensial tenglama to’liq differensialliga keltiriladigan
tenglama funksiya esa uning integrallovchi ko’paytuvchisi deyiladi.
Bundan keyin yuritiladigan mulohazalar ko’rsatadiki, va funksiyalar sohada differensiallanuvchi bo’lsa, integrallovchi ko’paytuvchi nuqtaning yetirli kichik atrifida albatta mavjud bo’ladi.
3-teorema. Agar bo’lib, funksiya intervalda aniqlangan hamda (8) tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda o’sha funksiya (1) tenglamaning ham shu intervalda aniqlangan yechimi bo’ladi.
Isbot. Shartga ko’ra, va funksiya (8) ning yechimi. Demak, ushbu

ayniyat o’rinli. Undan ayniyat kelib chiqadi. Bu esa funksiya (1) tenglamaning yechimi ekanini bildiradi. Bu teoremadan (1) tenglama to’liq defferensialli bo’lmagan holda tegishli integrallovchi ko’paytuvchi yordamida hosil qilingan to’liq differensialli tenglamaning umumiy integrali berilgan (1) tenglamaning ham umumiy integrali bo’lishi kelib chiqadi.

2. 
   Endi integrallovchi ko’paytuvchini to’laroq o’rganamiz. (8) tenglama
   

to’liq differensialli bo’lsin. U holda sohada
(9)
ayniyat o’rinli. Bundan hosilalarni hisoblasak
yoki
yoki desak,
(10)
munosabatga kelamiz. Bu funksiyaga nisbatan birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo’lmagan differensial tenglama. Biz uchun shu (10) tenglamaning biror xususiy yechimini bilish yetarli. Bunday yechim nuqtaning yetarli chiziq atrofida funksiyalar sohada uzluksiz bo’lgani uchun doim mavjud.