Kurs ishi mavzu: To’la differensial tenglama va integrallovchi ko’paytuvchi Bajardi

Yetarliligi. Endi (4) ayniyat sohada to’g’ri bo’lsin. (1) differensial tenglamaning to’liq differensialli ekanini isbot etamiz. funksiya sohada biror funxsiyadan bo’yicha olingan hosilaga teng deb qarashimiz mumkin, yani
(5)
Endi funksiyani shunday tanlaymizki, tenglik ham o’rinli bo’lsin. Uning uchun (5) ni dan gacha integrallaymiz:
(6)
Bu funksiya uchun (5) bajariladi. Endi (6) ni bo’yicha differensiallaymiz:
.
(4) ayniyatdan foydalansak:

Agar deb tanlansa maqsadga erishamiz. Bu sodda differensial tenglama bo’lib, funksiya ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun nuqtadan yagona integral chiziq o’tadi. Masalan, shartni qanoatlantiradigan yagona yechim

formula bilan yoziladi. Topilgan ifodani (6) ga qo’yib, funksiya uchun

ifodani hosil qilamiz. Teorema isbot bo’ladi. Teoremaning yetarliligini isbotlash bir vaqtda to’liq differensialli tenglamalarni integrallash usulini ham beradi.
Yetarlilikning isbotida integrallash aslida nuqtalarni tutashtiruvchi ixtiyoriy egri chiziq bo’yicha olib borildi. Bu soha bir bog’lamli bo’lgandagina mumkin.
1-Misol. Ushbu differensial teglamaning to’liq differensial ekanligi tekshirilsin va integrallansin.
Tenglamada . Bundan . Demak, tenglama to’liq differensialli. Endi uni integrallaymiz. dan , , , kelib chiqadi. Topilgan natijani o’rniga qo’ysak ( deb ),

Umumiy yechimni topamiz.
Ushbu

differensialli tenglama to’liq differensialli, chunki . Sodda hisoblashlar yordamida quyidagini topamiz:
, , , , differensial tenglamaning integrali

funksiyadan iborat. Umumiy integrali esa

ko’rinishida bo’ladi, bu yerda funksiya ning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, funksiya ning biror boshlang’ich funksiyasidir.
Agar ko’rinishidagi o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalada deyilsa, yuqorida ko’rilgan to’liq differensialli tenglamaga kelamiz. Demak, qurilgan differensial tenglamaga o’zgaruvchilari ajraladigan va to’liq differensialli deb qarasak ham bo’laveradi.
2-teorema. (1) differensial tenglamada va funksiyalar to’g’ri to’rtburchakda uzluksiz bo’lib, va bo’lsa, u holda to’plamning har bir berilga nuqtasidan (1) tenglamaning faqat bitta integral chizig’i o’tadi.
Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra differensial tenglamaning chap tomoni to’liq differensialdir, ya’ni
ga ko’ra (1) differensial tenglamani

Ko’rinishida yozish mumkin. Undan

hosil bo’ladi ( hosila dan olingan to’liq hosila ). Endi funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’lishi uchun
(7)
bo’lishi zarur va yetarli. Farazga ko’ra, . Shu sababli, (7) ni ga nisbatan bir qiymatli yechish mumkin. ning munosabat bilan aniqlangan qiymati (1) tenglamaning nuqtadan o’tadigan yagona integral chizig’ini belgilaydi va u

formula yordamida ifodalanadi. funksiyani izlash usuli esa avvalgi teoremada berilgan.