Kurs ishi mavzu: To’la differensial tenglama va integrallovchi ko’paytuvchi Bajardi

1-misol. Ushbu

chiziqli differensial tenglama berilgan bo’lsin. Uni

ko’rinishida yozamiz. Bunda . Ravshanki,
.
Demak, . (12) ga ko’ra:
(15)
Shunday qilib, birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi (15) ko’rinishida bo’ladi.
2-misol. Ushbu

Differensial tenglama to’liq differensialli emas, chunki:
.
Ammo
.
Demak, bo’ladi. Shuning uchun

yoki deb intergrallovchi ko’paytuvchiga ega bo’lamiz.
Berilgan tenglamani integrallash jarayonini oxiriga yetkazib qo’yamiz. Uni ga ko’paytirib, to’liq differensialli tenglamani hosil qilamiz:
.
Bu tenglama uchun

umumiy yechim bo’ladi.

3. 
   deylik. (1) differensial tenglama shu ko’rinishda integrallanuvchi ko’paytuvchiga ega bo’lishi shartini chiqaramiz. (11) dan
   

yoki
(16)
ga egamiz, bu yerda
. (17)
Shunday qilib, agar ifoda (16) ko’rinishida yozilishi mumkin bo’lsa, u holda (1) tenglama ko’rinishda integrallovchi ko’paytuvchiga ega bo’ladi, bunda va funksiyalar (17) formulalar yordamida topiladi:
.
3-misol. Ushbu

differensial tenglama ko’rinishda integrallovchi ko’paytuvchiga ega. Haqiqatan, agar desak,

Bundan

yoki

yoki
.
Demak, .
Berilgan funksiyani ikki tomonini shu funksiyaga ko’aytirsak, o’zgaruvchilari ajraladigan

differensial tenglamaga kelamiz. Uning umumiy integrali
.
4-misol. Ushbu

differensial tenglama integrallansin.
Bu tenglama to’liq differensialli emas, chunki
va
munosabatlardan tengsizlik kelib chiqadi.
Berilgan differensial tenglama ko’rinishdagi integrallovchi ko’paytuvchiga ega, chunki
.
Bundan va .
Demak, integrallovchi ko’paytuvchi ko’rinishga ega ( berilgan tenglamani bo’lganda to’liq differensialliga keltirib, so’ngra uni integrallab qo’yamiz ).
Misollar ishlanayotganda ba’zi xollarda integrallovchi ko’paytuvchi

va boshqa ko’rinishlarda izlanishi mumkin.

4. 
   (1) differensial tenglamada va funksiyalar sohada aniqlangan, differensiallanuvchi va – tartibli bir jinsli bo’lsin. U holda (1) tenglama
   

(18)
ko’rinishda integrallovchi ko’paytuvchiga ega. Haqiqatan,

va
.
Agar desak, yoki
.
Bundan integrallovchi ko’paytuvchi uchun

formula kelib chiqadi.

5. 
   6-teoremaga ko’ra, (1) differensial tenglamaning ixtiyoriy integrallovchi ko’paytuvchisi formula bilan yozilishi mumkin. Bu formula integrallovchi ko’paytuvchini toppish uchun avvalgi bo’limlarda bayon etilgan usullardan farq qiladigan usulni qo’llashga olib keladi. Yangi usul quyidagidan iborat: (1) tenglamani shartli ravishda ikkiga bo’lamiz:
   

,
bunda . So’ngra ushbu

tenglamalarni ko’ramiz. Albatta, bu differensial tenglamalar uchun integrallovchi ko’paytuvchini nisbatan osonlik bilan topa olamiz, deb hisoblaymiz. Tegishli tenglamalarning integrallovchi ko’paytuvchilarni mos ravishda va , integrallarini esa va deylik. U holda yuqoridagi formulaga asosan har bir differensial tenglama uchun ixtiyoriy integrallovchi ko’paytuvchini

ko’rinishda yozish mumkin. va larning ixtiyoriyligidan foydalanib, ularni shunday tanlaymizki, ushbu

munosabat o’rinli bo’lsin. U holda funksiya berilgan (1) differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi bo’ladi. Amalda yoki funksiyani ga teng qilib olish mumkin.
5-misol. Ushbu differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi topilsin.
Bu tenglamani

ko’rinishida yozish mumkin. Undan

tenglama uchun ekanini c) bo’limdagi usul bilan isbotlash mumkin. Endi bo’lishi uchun desak,

kelib chiqadi. Demak, funksiya berilgan differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi bo’ladi.

Xulosa
Xulosa o’rnida shuni aytish joizki, ushbu kurs ishida “To’la differensial tenglama va integrallovchi ko’paytuvchi” haqida fikr yuritilgan bo’lib, mavzuga doir bir qator ma’lumotlar keltirilgan. Mazkur kurs ishini yozish davomida to’liq differensial tenglama va integrallovchi ko’paytuvchi haqida bilimlarimni oshirdim va mustahkamladim. Buning uchun bir qancha kitoblarni izlab, ulardan mavzuga doir ma’lumotlarni qidirdim. Albatta, bu ishlar bir muncha qiyinchiliklarni keltirib chiqardi. Kurs ishini yozish bilan bir qatorda oddiy differensial tenglamalar fanidan bilimlarimni oshirdim va shu bilan bir qatorda ushbu fandan o’qiydigan kitoblarim sonini ham ko’paytirdim.
Mazkur kurs ishi oddiy differensial tenglamalar fanini chuqurroq o’rganishga yordam beribgina qolmay, bundan keyin mavzularni o’rganishda qulaylik ham tug’diradi. Misollar yechish jaronida tenglamani to’liq differensial tenglamaga keltirib olish biz uchun misolni osonroq chiqishi imkoniyatini beradi. Buning uchun esa integrallovchi ko’paytuvchi yordam beradi. Kurs ishini yozish davomida bir qancha misollar ham ishlab ko’rsatildi. Bu esa mavzuni yanada yaxshiroq o’zlashtirishga yordam beradi.