Kurs ishi mavzu: To’la differensial tenglama va integrallovchi ko’paytuvchi Bajardi

4-teorema. Agar (1) differensial tenglama umumiy integralga ega bo’lsa, u holda bu tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi mavjud bo’ladi.
Isbot. Ravshanki, yoki desak, . Qayd qilamizki, agar bo’lsa, tenglamadan tekislikning ixtiyoriy nuqtasi yechim bo’la olishi kelib chiqadi, ya’ni bu holda integrallanuvchi diferensial tenglamaga ega bo’lamiz. Agar , masalan, bo’lsa, biz yoki ga ega bo’lamiz. Bu holda ixtiyoriy vertical to’g’ri chiziq integral chiziq bo’ladi.
Ikkinchi tomondan, (1) ga ko’ra
.
Shuning uchun

Bundan

tengliklar orqali sohada aniqlangan funksiyani kiritish mumkin. Endi

munosabatlardan funksiya (1) differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Quyidagi ikkita teoremani isbotsiz keltiramiz.
5-teorema. Agar (1) differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’lib, funksiya shu tenglamaning integrali bo’lsa, u holda ixtiyoriy shu tenglamaning integrali bo’lsa, u holda ixtiyoriy
(11)
funksiya ham integrallovchi ko’paytuvchi bo’ladi.
6-teorema. (1) differensial tenglamaning ixtiyoriy integrallovchi ko’paytuvchisi ushbu
(11*)
formula bilan beriladi, bunda biror integrallovchi ko’paytuvchi, esa (1) tenglama integrali ning ixtiyoriy uzluksiz funksiyasi.
Qayd qilamizki, bu teoremadan ikki qat’iy farq qiluvchi va integrallovchi ko’paytuvchilar ma’lum bo’lganda differensial tenglamaning umumiy integrali ekani kelib chiqadi.

3. 
   Integrallovchi ko’paytuvchini topishning ba’zi xususiy hollariga
   

to’xtalamiz. Shubhasiz . Integrallovchi ko’paytuvchi faqat ning yoki ning funksiyasi bo’lgan holler eng sodda holler hisoblanadi.

1. 
   bo’lsin. Bunda (9) tenglama soddalashadi
   

(chunki ):
yoki (12)
funksiya uchun yuqorida qilingan faraz (12) ning o’ng tomoni faqat ning funksiyasi bo’lishidan iboratdir. (12) ning ikki tomonini dan gacha integrallaymiz:
(13)
Bizni birorta integrallovchi ko’paytuvchi qiziqtirayotgani uchun desa bo’ladi.

2. 
   Endi bo’lsin, (12) tenglama bunday ko’rinishga keladi:
   

.
Undan va gacha integrallash natijasida
(14)
ifodani topamiz.