Kurs ishi Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning uzluksizligi. Bajardi

Funksiya tushunchasi.

X va Y haqiqiy sonlarning biror to’plamlari bo’lsin:

1-ta’rif­ Agar X to’plamdagi har bir x songa biror qoida yoki qonunga ko’ra Y to’plamdan bitta y son mos qo’yilsa, X to’plamda funksiya berilgan (aniqlangan) deb ataladi va f: x y yoki y=f(x) kabi belgilanadi.

Bunda X – funksiyaning aniqlanish to’plami (sohasi), Y – funksiyaning o’zgarish to’plami (sohasi) deb ataladi. x – erkli o’zgaruvchi (funksiyaning argumenti), y – erksiz o’zgaruvchi (x o’zgaruvchining funksiyasi) deb ataladi.

Masalan: 1) f – har bir haqiqiy x songa uning butun qismi [x] ni mos qo’yuvchi qoida bo’lsin. Demak, f : x y yoki y=[x] funksiyaga ega bo’lamiz. Bu funksiyaning aniqlanish to’plami X = R, o’zgarish to’plami esa Y = Z bo’ladi.

2) Har bir ratsional songa 1 ni, har bir irratsional songa 0 ni mos qo’yish natijasida funksiya hosil bo’ladi. Uni Dirixle funksiyasi deyiladi va D(x) kabi belgilanadi:

Dirixle funksiyasining aniqlanish sohasi X = R, o’zgarish sohasi Y={0,1} bo’ladi.

1-misol. Ushbu

Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

ifoda kasr mahrajida ekanini hisobga olib, 1 – x² > 0 munosabatga ega bo’lamiz, ya’ni |x| < 1.

2-misol. Ushbu

Funksiyaning aniqlanish sohasi va funksiya qiymatlari to’plamini toping.

Munosabatni qanoatlantiruvchi x larda ma’noga ega ekanligini hisobga olib,

sin x 1 tengsizlikka ega bo’lamiz.

sin x funksiyaning eng katta qiymati 1 ekanidan sin x = 1, ya’ni bo’ladi. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi to’plamdan iborat.

Endi k ning har bir qiymatida bo’lgani uchun, funksiyaning aniqlanish sohasidan olingan har qanday x da log₁₉₉₀ sin x = 0 bo’ladi. Shunday qilib, qaralayotgan funksiyaning qiymatlari to’plami {0} to’plamdan iborat.

y=f(x) funksiyaning X to’plamda aniqlangan bo’lsin.

2-ta’rif. Agar shunday o’zgarmas M (o’zgarmas m) son topilsaki, uchun



bo’lsa, f(x) funksiya X to’plamda yuqoridan (quyidan) chegaralangan deb ataladi. Agar f(x) funksiya ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo’lsa, ya’ni shunday o’zgarmas M va m sonlar topilsaki, uchun



bo’lsa, f(x) funksiya X to’plamda chegaralangan deb ataladi.

3-misol. Ushbu

funksiyaning chegaralanganligini ko’rsating. Ravshanki, bu funksiya R=(-∞; ∞) da aniqlangan;

Demak, funksiya R da chegaralangan.

Funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanmaganligi bunday ta’riflanadi.

3-ta’rif. Agar ixtiyoriy M (ixtiyoriy m) son olinganda ham, shunday son topilsaki,

bo’lsa, f(x) funksiya X to’plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan deyiladi.

4-misol. Ushbu

2. 
   
   

funksiyaning yuqoridan chegaralanmaganligini ko’rsating.

Bu funksiya yuqoridan chegaralangan bo’lsin deylik, ya’ni shunday M soni topilib, barcha lar uchun x² < M o’rinli. Bu tengsizlkidan ko’rinadiki, M > 0. Endi sonni qaraylik. Funksiyaning bu nuqtadagi qiymati ga teng.

Farazimizga ko’ra esa ga teng bo’lib, u har doim M dan katta. Bu ziddiyat qaralayotgan funksiyaning yuqoridan chegaralanmaganligini ko’rsatadi.