Kurs ishi mavzu: Chekli ayirmalar usuli

Integro-differentsial operatorlar
1.Kasr tartibli Riman - Liuvill integrali funksiya sinfdan bo`lsin. Ushbu
(98)
ko`rinishdagi ifoda kasr tartibli integral (Liuvill - Riman ma’nosida) deb ataladi. funksiya deyarli hamma da aniqlangan bo`lib, sinfga tegishli bo`ladi.
Agar bo`lsa, u holda deyarli hamma da
(99)
tenglik o`rinli bo`ladi. Haqiqatan ham,

Oxirgi ichki integralda almashtirish bajarish natijasida quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

Bu esa (99) tenglikning to`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Ta’rifga asosan
(100)
deb hisoblaymiz. Arap yoki bulib,
21

bulsa, u xolda funksiya
ko`rsatkich bilan (a,b) da Gyolder shartini qanoatlantiradi.
Bu fikrning to`g`riligiga Gyolder sharti ta’rifidan foydalanib ishonch xosil qilish qiyin emas.
2. kasr tartibli Liuvill hosilasi. son berilgan bo`lib, butun son shartdan aniqlansin. So`ngra, funktsiya sinfga tegishli bulib,

funktsiya deyarli xamma da hosilaga [bu hosila da jamlanuvchi bo`lishi shart emas] ega bulsin. xolda
(101)
funksiya funksiyaning kasr tartibli hosilasi deyiladi. butun son bo`lganda, (101) ga asosan

ya’ni ifoda funksiyaning tartibli oddiy hosilasi bilan ustma-ust tushadi.
Ixtiyoriy tartibli integro-differentsial operatorlarning ayrim xossalarini ko`rsatib o`tamiz.

1. 
   Agar L(a,b) bo`lsa, u holda ixtiyoriy da deyarli hamma lar uchun
   

(102)

2. 
   mavjud bo`lsin. U holda
   

(103)
Bu ikki xossani umumlashtirish mumkin.
3) bo`lsin. U holda agar bo`lsa,
(104)
22
agarda bo`lib, funksiya da hosilaga ega bo`lsa,

4. 
   va hosila mavjud bo`lsin, bu yerda U holda ixtiyoriy uchun
   

Yuqorida keltirilgan xossalarning to`g`riligiga bevosita hisoblashlar bilan ishonch hosil kilish mumkin.
Izoh. operatorlarning ta’rifida integralning yuqori chegarasi o`zgaruvchi edi, xuddi shunga o`xshash integralning quyi chegarasi o`zgaruvchi bo`lgan

operatorlar xam qaraladi. Bu operatorlar xam va lar qanday xossalarga ega bo`lsa, xuddi shunday xossalarga ega bo`ladi.
5) Kasr differentsiallanadigan va operatorlar uchun ekstremum printsipi. [a,b] kesmada kamaymaydigan musbat uzluksiz funksiya va uzluksiz funksiya bulsin.
Agar ning , nuqtasida funksiya musbat maksimum (manfiy minimum) ga erishsa va bu nuqtaning ixtiyoriy kichik atrofida ko`paytma ko`rsatkich bilan Gyolder shartini qanoatlantirsa, u holda

Haqiqatan ham,

23

(107)
Endi

tenglikni e’tiborga olsak, (107) quyidagicha yoziladi:

Bu ayniyatdan yuqorida bayon qilingan ekstremum printsipi darhol kelib chiqadi. Agar da o`smaydigan musbat uzluksiz funksiya bo`lsa, aytilgan fikr operator uchun ham o`rinli buladi.