Kurs ishi mavzu: Chekli ayirmalar usuli

1.Dirixle printsipi. Bir qator hollarda tatbiq etishda uchraydigan xususiy hosilali differenssial tenglamalar variatsion masala uchun Eyler tenglamasidan iborat bo`ladi. Masalan, chegarasi bulgan soha bo`yicha olingan
(81)
Dirixle integralining minimum masalasi uchun, (80) ga asosan, Eyler tenglamasi vazifasini Rits tenglamasi bajaradi. da uzluksiz, da birinchi tartibli bo`lak-bo`lak uzluksiz xosilalarga va chekli Dirixle integraliga ega bo`lgan, da avvaldan berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi funksiyalarni mumkin bo`lgan funksiyalar deb ataymiz. sohada garmonik, da uzluksiz va
(82)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi funksiyani topish to`g`risidagi Dirixle masalasi bilan mumkin bo`lgan funksiyalar orasidan (81) Dirixle integraliga minimum qiymat beruvchi funksiyani izlash haqidagi birinchi variatsion masala
13
o`rtasida yaqin bog`lanish mavjud.
Agar Zda berilgan funksiya shunday bo`lsaki, mumkin bo`lgan funksiyalar sinfi bo`sh bo`lmasa, u holda Dirixle masalasi va birinchi variatsion masala ekvivalent bo`ladi. Bu fikrning to`g`riligini ayrim qo`shimcha farazlar bajarilganda ko`rsatamiz. birinchi variatsion masalaning yechimi bo`lsin. Mumkin bo`lgan funksiyalar sinfini ko`rinishda tasvirlaymiz, bunda ixtiyoriy o`zgarmas, esa
(83)
shartni qanoatlantiruvchi mumkin bo`lgan funksiyalar sinfidan ixtiyoriy funksiya. Ravshanki,
(84)
bu yerda

(84) tenglikning chap tomonini vaqtincha ning funksiyasi sifatida orqali belgilasak, minimizatsiyalovchi funksiya, ixtiyoriy o`zgarmas bo`lgani uchun da minimumga ega bo`ladi, u holda buladi, ya’ni
(85)
funksiyalarni va konturni shunday silliq deb hisoblaymizki, bular uchun quyidagi ayniyatlar o`rinli bo`lsin:
(86)
bunda ga o`tkazilgan tashqi normal. (83) va (85) ga asosan, (86) dan

tenglik kelib chiqadi. Bundan, da ni uzluksiz funksiya deb hisoblab, ning ixtiyoriyligidan ga ega bo`lamiz.

14
Demak, qabul qilingan farazlarga asosan, birinchi variatsion masalaning yechimi Dirixle masalasining yechimi bo`ladi.
Endi funksiya Rits tenglamasi uchun chegaraviy shartlari (82) bo`lgan Dirixle masalasining yechimi, esa xuddi yuqoridagidek, mumkin bulgan funksiyalar sinfi bo`lib, shu bilan birga va funksiyalar uchun (86) formula o`rinli bo`lsin.
Bu formuladan (83) ga asosan va ning garmonik funksiya bo`lganligi uchun (85) tenglik kelib chiqadi. Shuning uchun xam (84) dan

tengsizlikka ega bo`lamiz, bu esa funksiya Dirixle integralini minimizatsiya qilishini, ya’ni birinchi variatsion masalaning yechimi ekanligini bildiradi.
Dirixle integrali uchun variatsion masalalarga ekvivalent bo`lgan Rits tenglamasi uchun boshqa chegaraviy masalalar ham mavjud. Bular orasida, masalan, Neyman masalasi Rits tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni Diri xle integrali uchun ekvivalent variatsion masalalarga keltirish g`oyasi Rimanga tegishlidir. Bu g`oyani Dirixle printsipi deb atash kabul kilingan.