Kroneker-Kapelli teoremasi. Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Fundamental yechimlar. Mundarija

Kroneker-Kapelli teoremasi.
Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Fundamental
yechimlar.

MUNDARIJA
1. Elmentar almashtirirshlar………………………………………….
2. Kroneker-Kapelli teoremasi……………………………………….
3. Bir jinsli tenglamalar sistemasi……………………………………
4. Fundamental yechimlar……………………………………………
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………..
Mashg`ulotning maqsadi: talabalarda tenglamalar sistemasi birgalikda bo`lish yoki bo`lmasligining shartlari haqida bilim va ko`nikmalarni shakllantirish.
Bizga maydon
 tartibli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lib,
asosiy va
kengaytirilgan matrisalar bo’lsin. Bu matrisalarning rangini qulaylik uchun va shaklda belgilab olamiz.
Lemma: Chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy va kengaytirilgan matrisaning ranglar teng yoki bittaga ortiq.
Isbot. Haqiqatan ham ning noldan farqli eng katta minori da ham noldan farqli minor bo’ladi.
Agar bu minor da ham noldan farqli eng katta minor bo’lsa, uning ranglari teng bo’ladi. Keyingi tartibli minor ozod usutuni o’z ichiga oluqchi tartibli minor bo’lib, bu noldan farqli bo’lsa, bo’ladi. Lemma isbot bo’ldi.
Chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish masalasi quyidagi Kroneker –Kapelli deb nomlanuvchi teorema orqali to’la hal qilinadi:
Teorema: (Kroneker – Kapelli teoremasi)
Chiziqli tenglamalr sistemasini kengaytirilgan matrisasi bilan asosiy matrisasining ranglari bo’lganda va faqat shu holdagina birgalikda bo’ladi.


Isbot. Birgalikda bo’lib, (1) ning qandaydir yechimlari bo’lsin.

U holda (1) ning ozod hadlaridan tuzilgan vektor matrisaning ustunlaridan tuzilgan har bir
ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak
 va vektorlar sistemalarining ranglari teng, ya’ni .
Endi faraz qilaylik bo’lsin. U holda lemmaga asosan martisaning oxirgi ustunidagi tuzilgan vektor, uning qolgan ustunlaridan tuzilgan, ya’ni matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi, ya’ni
tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu o’z navbatida ayniy tengliklar sistemasiga tengkuchlidir va demak lar (2) sistemaning yechimi bo’lib, bu tenglamalar sistemasi birgalikda.
Biz teoremadan quyidagi natijalarni olamiz:
Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda aniq bo’ladi.
Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi.
Bu teorema va natijalarni amalda tatbiq qilishda eng avvalam bor matrisani rangini hisoblash va agarda bo’lib, bu rangni aniqlovchi noldan farqli tartibi ga teng minor bo’lsa, so’ngra matrisaning ni xoshiyalovchi chiziq da bo’lmagan xarakteristik minorlari (determinanti) deb ataluvchi barcha minorlarini hisoblash kerak.
Agar ularning barchasi nolga teng bulsa, u xolda va shu sababli (1) sistemani birgalikda buladi, aks xolda u birgalikda bulmaydi.
eorema -1(Kroneker-Kapelli). (1) sistema birgalikda bo’lishi uchun uning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining ranglari teng bo’lishi zarur va yetarlidir, ya’ni
Teoremani isbot qilamiz.
Zarurligi. Aytaylik (1) birgalikda bo’lsin, ya’ni shunday

Endi B matrisaga quyidagi elementar almashtirishlarni qo’llaymiz: uning

1-nchi ustunini ga,
2-nchi ustunini ga
va hakoza,- nchi ustunini ga
ko’paytirib, ularning hammasini -nchi ustunga qo’shib yuboramiz. Natijada quyidagi matrisani hosil qilamiz:
Elementar almashtirishlar haqidagi teoremaga asosan C matrisaning rangi B matrisaning rangiga teng. Lekin C matrisaning rangi A matrisaning ham rangiga teng, chunki, nollardan iborat ustunning qo’shilishi A matrisaning rangini o’zgartirmaydi.