Ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni ayniy almashtirish. Ko'rsatkichli va logarifmik tenglamalar

1-teorema. Agar a>0 va a1 bo’lib a^m=aⁿ bo’lsa, u holda m=n bo’ladi, ya`ni ikkita teng darajalarning asoslari musbat va birdan farqli bo’lib ular teng bo’lsa, u holda bu darajalarning ko’rsatkichlari ham teng bo’ladi.

Isboti. m=n+c bo’lsin. U holda a^n+c=aⁿ yoki aⁿa^c=aⁿ. Bundan aⁿ0 bo’lganligi uchun tenglikning ikkala qismini aⁿ ga qisqartirsak, a^c=1 bo’ladi. aⁿ1 bo’lganligi uchun oxirgi tenglik faqat c=0 bo’lgandagina bajariladi. Demak, m=n ekan.

2-teorema. Agar a>0, a1, b>0, b1 bo’lib, a^m=b^m (m0) bo’lsa, a=b bo’ladi.

Isboti. b^m0 bo’lganligi uchun tenglikning ikkala qismini b^m ga bo’lsak, yoki bo’ladi. m0 bo’lganligi uchun oxirgi tenglik faqat a=b bo’lganda bajariladi.

Ko’rsatkichli tenglamalarni yechishda asosan quyidagi formulalardan foydalanamiz:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Ko’rsatkichli tenglamalarni asosiy turlari quyidagilardan iborat.

I. Bir xil asosga keltirib yechiladigan tenglamalar. Bunday tenglamalarni yechishda asosan (1) teoremadan foydalaniladi.

Misollar:

1. 
   2^x=4. yechish: 2^x=2² ; x=2. Javob: x=2.
   
2. 
   yechish: yoki , bundan 3x=-2, . Javob: .
   
3. 
   . yechish. Javob:
   

II. Umumiy ko’paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish usuli bilan yechiladigan tenglamalar. Misollar:

1. yechish. yoki Javob:

2. yechish. Javob: x=3.

III. Yangi noma`lum kiritish usuli bilan yechiladigan tenglamalar. Misollar.

1. yechish. Agar desak,

bo’ladi. Bu kvadrat tenglamani Yechsak, bo’ladi. Demak, , bundan ; , bundan Javob: va

2. yechish. desak, yoki Bu tenglamani yechsak, bo’ladi. Demak, dan . Bu tenglama Yechimga ega emas. Demak, tenglamaning Yechimi x=2 dan iborat.

IV. ko’rinishidagi tenglamalar. Bunda a>0, a¹1, b>0, b¹1 bo’lishi kerak. b^x¹0 bo’lgani uchun yoki Demak, Misol. 7^x=5^x. Javob:

Misol.

V. Guruhlash usuli bilan yechiladigan tenglamalar.

Misol.

yechish. yoki yoki . Bundan x=0. Javob: x=0.

VI. Grafik usulda yechiladigan tenglamalar.

ko’rinishdagi tenglamalarni grafik usulda taqribiy yechish mumkin. Buning uchun va funktsiyalarning grafiklari yasaladi. Agar grafiklar kesishsa, kesishish nuqtasining abstsissasi tenglamaning yechimi bo’ladi. Agar kesishmasa, yechimi yo’q. Agar urinib o’tsa, bitta yechimi bo’ladi (4-rasm).

4-rasm.