Ko'rsatkichli funksiya, uning aniqlanish va o'zgarish sohalari. Funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlari. Ko'rsatkichli funksiyaning grafigi

Misollar

1. 
   Funksiyaning grafigini yasang: 1) y = 3^x; 2) y=(1/3)^x
   
2. 
   y = 3^x funksiyaning grafigidan foydalanib, quyidagi sonlarninj taqribiy qiymatlarini toping:
   
   1. 
      1) 3²; 2)3³;
      
3. 
   Funksiyaning grafigini sxematik ravishda tasvirlang:
   
4. 
   1)y = 0,4^x; 2) y = 2^x; 3) y =(1/2)^x
   
5. 
   (Og'zaki.) Ko'rsatkich funksiyaning o'sish va kamayish xossasidan foydalanib, sonlarni taqqoslang:
   1) 1,7³ va 1; 2) 0,3² va 1; 3) 3,2^1,5 va 3,2^1,6; 4) 0,2 ^-3 va O,2 ^-2;
   
6. 
   Funksiyalar grafiklari kesishish nuqtalarining koordinatalarini toping:
   

1) y - 2^X va y = 8; 2) y = 3^x va y = 1/3 ;

7. 
   Hisoblang: 1) (-7)² -(-4)³ -3⁴; 2)13-2³-9-2³+2³; 3)6(-2)³-5(-2)³-(-2)³;
   

4) 2³ +(-3)³ -(-2)²+(-1)⁵ ; 5) (-10)⁰; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ((-20)⁷)^-7: ((-20)^-6)⁸+2^-2 ; 10) ((-17)^-4)^-6: ((-17)^-13)^-2+ (1/17)² .

Ko'rsatkichli tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

Ko'rsatkichli tenglamalar, ya'ni noma'lum daraja ko'rsatkichida ishtirok etadigan tenglamalarga doir bir nechta misol qaraymiz. Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish ko'pincha

a^x = a^b

ko'rinishdagi tenglamalarni yechishga keltiriladi, bunda a > 0, a≠ 1, x - noma'lum. Bu tenglama birgina x = b ildizga ega.Darhaqiqat, agar x≠ b, masalan, x > b bo'lsa, u holda a > 1 da a^x > a^b tengsizlikni, 0 < a < 1 da esa a^x < a tengsizlikni hosil qilamiz.

Ikkala holda ham a^x = a^h shartga zid natija hosil bo'ldi.

1-masala. 3^x = 27 tenglamani yeching.

27 > 0 bo'Iganligi uchun ko'rsatkichli funksiyaning xossasiga ko'ra berilgan teng­lama ildizga ega. Ildizlardan biri x = 3 bo'ladi, chunki 3³ = 27. Boshqa ildizlar yo'q, chunki y = S^x funksiya butun son o'qida o'sadi va shu-ning uchun x > 3 da 3^x > 27 va x < 3 da 3^x < 27.

2-masala. 4∙2^x = 1 tenglamani yeching.

Tenglamani 2^x+2 = 2° ko'rinishda yozamiz, bundan x + 2 = 0 .

Javob. x = -2.

3-masala. ^23x ∙ 3^x = 576 tenglamani yeching.

2^3x= (2³)^x= 8^x, 576 = 24² bo'lgani uchun tenglamani 8^x ∙ 3^x= 24² yoki 24^x = 24² ko'rinishda yozish mumkin. Bundan x = 2. Javob. x = 2. A

4-masala. 3^r+1 - 2∙3^x-2 = 25 tenglamani yeching.

Tenglamani o'ng qismida umumiy ko'paytuvchi 3^x-2 ni qavsdan tashqariga chiqarib,

3^x-2(3³-2)= 25; 3^x-2 ∙ 25=25 ni hosil qilamiz, bundan 3^x-2=l; x -2 = 0; x = 2.

Javob : x = 2.

5- m a s a 1 a. 3^x = 7^X tenglamani yeching.

7^X ≠ 0 bo'lgani uchun tenglamani — - i ko'rinishida yozish (3/7)^x = 1, x = 0. Javob. x = 0. A.

6-masala. 3∙2^X+1 + 2∙ 5 ^x-2 = 5^X + 2 ^x-2 tenglamani yeching.

Tenglamani 3 ∙ 2^x+1 - 2^X-2 = 5 ^x - 2∙5^X-2 ko'rinishda yozamiz, bun­dan 2 ^x-2(3 ∙ 2³ -1) = 5 ^x-2(5² - 2),

2 ^x-2 ∙ 23 = 5 ^x-2∙23, (2/5)^x-2 = 1, x-2 = 0. Javob. x = 2.

7-masala. 9^X-4-3^x-45 = 0 tenglamani yeching.

3^X = t almashtirish bilan berilgan tenglama t² - 4t - 45 = 0 kvadrat tenglamaga keltiriladi. Bu tenglamani yechib, uning ildizlarini topamiz: t₁ =9, t₂=-5, bundan 3^x = 9; 3^x = -5. 3^X = 9 tenglama x = 2 ildizga ega, 3^x =-5 tenglama esa ildizga ega emas, chunki ko'rsatkichli funksiya manfiy qiymat qabul qilishi mumkin emas.

Javob. x = 2.

8-masala. Tenglamalar sistemasini yeching:

2^x=u va 3^x=v belgilashlar kiritamiz. U holda sistema quyidagicha yoziladi:

Bu sistemani yechib, u = 2, v = 1 ni topamiz. Demak, 2^x = 2, 3^y=l. Shu sababli, x= 1, y= 0. Javob. (1; 0).

Mustaqil yechish uchun misollar:

Tenglamalarni yeching:

1) 4^x-1=1; 2) 0,3^3x-2=1; 3) 2^2x=2⁴; 4) (1/3)^3x=(1/3)^-2;

5) 27^x=1/3; 6) 400^x=1/20; 7) (1/5)^x=25; 8) (1/3)^x=1/81;

Savollar:

1. 
   Ko’rsatkichli tenglamalar deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Ko'rsatkichli tenglamalarni yechishning asosiy usullarini ayting.
   

Mustaqil yechish uchun misollar:
Tenglamalarni yeching:

1) 4^x-1=1; 2) 0,3^3x-2=1;

3) 2^2x=2⁴; 4) (1/3)^3x=(1/3)^-2;
5) 27^x=1/3; 6) 400^x=1/20;
7) (1/5)^x=25; 8) (1/3)^x=1/81;
9) 3∙9^x=81; 10) 2∙4^x=64;
11) 3^x+1/2+3^x-2=1; 12) 0,5^x+7 ∙ 0,5^1-2x=2;
13) 0,6^x+3= 0,6^2x-5; 14) 6 ^3x-1=6 ^1-2x;
15) 3 ^2x-1+3 ^2x=108; 16) 3^x-1+3 ^2x+3^x+1 =63;
17) 2^3x+2 -2^3x-2 =30; 18) 2^x+1+2^x-1+2^x =28;
19) 5^x=8^x; 20) (1/2)^x=(1/3)^x;
21) 3^x=5^x; 22) 4^x=3^x/2;
23) 9^x -4∙3^x+3=0; 24) 16^x -17∙4^x+16=0;
25) 25^x-6∙5^x+5=0; 26) 64^x-8^x-56=0;
27) 7^x-7^x-1=6; 28) 3^2y-1+3^2y-2-3^2y-4 =315;
29) 5^3x+3∙5^3x-2=140; 30) 2^x+1+3∙2^x-1-5∙2^x+6=0.
Ko'rsatkichli tengsizliklarni yechishning asosiy usullari.

Ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish uchun ko'rsatkichli funksiyalarning xossalaridan foydalaniladi. Ko’rsatkichli tengsizliklarni yechish ko’pincha a^x ›a^b yoki a^x‹a^b tengsizliklarni yechishga keltiriladi. Bu tengsizliklarni yechish ko’rsatkichli funksiyaning o’sish yoki kamayish xossalariga bog’liq bo’ladi, ya’ni y=a^x funksiya a > 1 bo'lganda monoton o'suvchi; 0 < a < 1 bo'lganda monoton kamayuvchi bo'lib, bu xossalardan quyidagilar kelib chiqadi:

1) Agar a > 1 bo'lsa, x₂›x₁ ; a^x2›a^x1,

2) Agar 0 bo'lsa, x₂›x₁ ; a^x2‹a^x1.

1-masala. 3^x › 27 tengsizlikni yeching.

27 > 0 bo'lganligi uchun ko'rsatkichli funksiyaning xossasiga ko'ra berilgan teng­sizlik ildizga ega. Ildizlardan biri x = 3 bo'ladi, chunki 3³ = 27. Boshqa ildizlar yo'q, chunki y = S^x funksiya butun son o'qida o'sadi va shu-ning uchun x > 3 da 3^x > 27 va x < 3 da 3^x < 27.

2-masala. 4∙2^x ≥ 1 teng­sizlikni yeching.

Teng­sizlikni 2^x+2 ≥ 2° ko'rinishda yozamiz, bundan x + 2 ≥ 0 . Javob.x≥-2.

3-masala. ^23x ∙ 3^x≥ 576 teng­sizlikni yeching.

2^3x= (2³)^x= 8^x, 576 = 24² bo'lgani uchun teng­sizlikni 8^x ∙ 3^x≥24² yoki 24^x ≥ 24² ko'rinishda yozish mumkin. Bundan x ≥ 2. Javob. x ≥ 2.

4-masala. 3^r+1 - 2∙3^x-2 ≤ 25 teng­sizlikni yeching.

teng­sizlikni o'ng qismida umumiy ko'paytuvchi 3^x-2 ni qavsdan tashqariga chiqarib,

3^x-2(3³-2) ≤ 25; 3^x-2 ∙ 25≤ 25 ni hosil qilamiz, bundan 3^x-2 ≤ l; x -2 ≤ 0; x ≤ 2.

Javob : x ≤ 2.

5- m a s a 1 a. 3^x ≤ 7^X teng­sizlikni yeching.

7^X ≠ 0 bo'lgani uchun teng­sizlikni ko'rinishida yozish (3/7)^x ≤ 1, x = 0.

Javob. x = 0.

6-masala. 3∙2^X+1 + 2∙ 5 ^x-2 ≥ 5^X + 2 ^x-2 teng­sizlikni yeching.

Tenglamani 3 ∙ 2^x+1 - 2^X-2 ≥ 5 ^x - 2∙5^X-2 ko'rinishda yozamiz, bun­dan

2 ^x-2(3 ∙ 2³ -1) ≥5 ^x-2(5² - 2), 2 ^x-2 ∙ 23 ≥ 5 ^x-2∙23, (2/5)^x-2 ≥ 1, x-2 ≥ 0.

Javob. x ≥2.

7-masala. 9^X-4-3^x-45≥ 0 teng­sizlikni yeching.

3 ^X = t almashtirish bilan berilgan teng­sizlik t² - 4t - 45 ≥ 0 kvadrat teng­sizlikga keltiriladi. Bu teng­sizlikni yechib, uning ildizlarini topamiz: t₁ =9, t₂=-5, bundan 3^x ≥ 9; 3^x = -5. 3^X ≥ 9 teng­sizlik x ≥ 2 ildizga ega, 3^x =-5 teng­sizlik esa ildizga ega emas, chunki ko'rsatkichli funksiya manfiy qiymat qabul qilishi mumkin emas.

Javob. x ≥ 2.

Misollar:

1) 4^x-1≥1; 2) 2^2x≥2⁴; 3) (1/3)^3x≥ (1/3)^-2;

4) 400^x≥1/20 5) 3∙9^x≥81; 6) 3^x+1/2+3^x-2 ≥1;

7) 0,6^x+3≥ 0,6^2x-5; 8) 3 ^2x-1+3 ^2x≥108;

Sonning logarifmi. Asosiy logarifmik ayniyatlar.

Sonning logarifmi. Darajaga ko'tarish amaliga teskari amaini qarab chiqamiz. a^x = b ifodada x noma'lum bo'lib, uni topish ko'rsatkichni topishamali deyiladi.

Misollar: 3^x =27 bo'lsa, x = 3; 2^x =8 bo'lsa, x = 3; 5^x = 25 bo'lsa, x = 2;

10^x = 1000 bo'isa, x = 3; 10^x = 0,01 bo'lsa, x = -2.

Ta'rif. Berilgan sonning berilgan asosga ko'ra logarifmi deb, berilgan sonni hosil qilish uchun shu asosni ko'tarish kerak bo'lgan daraja ko'rsatkichini aytiladi.

Agar a^x = b bo'lsa, ta'rifga ko'ra x = log _ab. Bunda a — logarifmning asosi, b — logarifmlanayotgan son, deb olinadi. b>0 bo'lishi ko'rinadi.

a^x=b=> x = log_a b => a^{log b} =b ayniyat hosil bo'ladi. Buni asosiy logarifmik ayniyat deyiladi.

Logarifmning ta'rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi:

1. 
   Asos 1 dan farqli har qanday musbat son bo’lganda: log_a1=0;
   
2. 
   Asosning shu asosga ko’ra logarifmi 1 ga teng: log_aa =1;
   
3. 
   Log_ab=log_ac tenglikdan b=c ekanligi kelib chiqadi.
   

Algebraik ifodaga kirgan sonlarni ularning fogarifmlari orqali ifodalashni shu ifodani logarifmlash deyiladi. Logarifmlashga teskari amaini potensirlash deyiladi.

1. Ko'paytmaning logarifmi ko'paytuvchilar logarifmlarining yig'indisiga teng:



2. Bo'linmaning logarifmi bo'linuvchi va bo'luvchi logarifmlarining ayirmasiga teng:



3. Darajaning logarifmi daraja ko'rsatkichi bilan asos logariftnining ko'paytmasiga teng:



4. Ildizning logarifmi ildiz ostidagi son logarifmining ildiz ko 'rsatkichiga bo 'linganiga teng:



Mustaqil yechish uchun mashqlar

Hisoblang:

I. 1) log_l05 + log₁₀2; 2) log₁₀ 8 + log_l() 125;

3) log_l22 ₊ log₁₂72; 4) log₃ 6 + log₃(3/2) .

II. 1) log₂15 - log₂(15/16); 2) log₅75 - log₅ 3;
3) log _1/354-Iog _1/32; 4) log₈(1/16) - log₈ 32.

I


II.










Ko'paytma, bo'linma va darajaning logarifmi. Bir asosdan boshqa asosga o'tish formulasi.

Algebraik ifodaga kirgan sonlarni ularning fogarifmlari orqali ifodalashni shu ifodani logarifmlash deyiladi. Logarifmlashga teskari amaini potensirlash deyiladi.

1. Ko'paytmaning logarifmi ko'paytuvchilar logarifmlarining yig'indisiga teng:



2. Bo'linmaning logarifmi bo'linuvchi va bo'luvchi logarifmlarining ayirmasiga teng:



3. Darajaning logarifmi daraja ko'rsatkichi bilan asos logariftnining ko'paytmasiga teng:



4. Ildizning logarifmi ildiz ostidagi son logarifmining ildiz ko 'rsatkichiga bo 'linganiga teng:

1. 
   Bir asosdan boshqa asosga o’tish formulasi: .
   

Bir asosdan boshqa asosga o’tish formulasidan kelib chiqadigan ayniyatlar::





Mustaqil yechish uchun mashqlar

Hisoblang:

8.127.

8.128.

8.129. x ni uning berilgan logarifmi bo’yicha toping (a>b,b>0):

1) log₃x=4∙log₃a+7∙log₃b; 2) log₅x= 2∙log₅a+3∙log₅b.

Savollar:

1.Ko'paytmaning logarifmi nimaga teng?

2. Bo'linmaning logarifmi nimaga teng?

3. Darajaning logarifmi nimaga teng?

4. Ildizning logarifmi nimaga teng?

5. Bir asosdan boshqa asosga o’tish formulasi nimaga teng?.

6. Bir asosdan boshqa asosga o’tish formulasidan kelib chiqadigan ayniyatlarni yozing.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. R.H.Vafayev, J.H. Husanov, K.H. Fayziyev, Yu.Y. Hamroyev «Algebra va analiz asoslari».

2. 10-11 sinf uchun «Algebra va analiz asoslari».

3. «Algebra va matematik analiz asoslari». Akademik litseylar uchun 1 va 2 qism.

4. «Algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar to’plami».

Ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni ayniy almashtirishlar.

Ta'rif. Asosi 10 bo'lgan logarifm o'nli logarifm deyiladi va uni lg ko'rinishida belgilanadi.

T a’ r i f. Asosi e ga teng logarifm natural logarifm deyiladi va ln ko'rinishda belgilanadi.

O'nli logarifmning xossalari:

a) 1 va undan keyingi nollar bilan tasvirlangan sonning logarifmi bu sonda nechta nol bo'lsa, shuncha musbat birlikka teng.

Mi sol: lg 10000 = 4, cbunki 10⁴ =10000.

b) 1 va uning oldidagi nollar bilan tasvirlangan sonning logarifmi bu sonda nechta nol bo'lsa, shuncha manfiy birlikka teng.

Misol: lg 0,001 =-3, chunki, 10^-3 = 0,001.

d) 1 va nollar bilan tasvirlanmagan 1 dan katta sonning o 'nli logarifmi bu sondagi raqamlar sonidan bitta kambutun qismga (xarakteristikaga) ega bo lib, kasr qismi (mantissasi) jadvaldan olinadi.

Misol: lg75,63 = l, ... chunki 10<75,631 < 100 lg 75,631 = 1 + a, a kasr qism bo'lib, u musbat son.

e) Bir va nollar bilan tasvirlanmagan 1 dan kichik musbat sonning o'nli logarifmi tasvirlangan sonda (nol butun bilan birga) nechta nol bo'lsa, shuncha manfiy birlikdan iborat xarakteristikaga ega.

Misol: lg 0,0015=-3,... bo'lib, odatda lg0,0015 =-3 ko'rinishda yoziladi, chunki mantissasi musbat son. Haqiqatan ham, 0,001 < 0,0015 < 0,01.

lg 0,001 < lg 0,0015 < lg 0,01,-3 < lg 0,0015 < -2;

Ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni ayniy almashtirishlarda bir asosdan boshqa asosga o’tish formulasidan kelib chiqadigan ayniyatlar:



Mustaqil yechish uchun mashqlar

Hisoblang:

8.134. 1) lg 8 + lg 125; 2) lg 13 – lg 130; 3) ; 4) lg 72 – lg 9.

Savollar:

1. 
   O'nli logarifm deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Natural logarifm deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   O'nli logarifm qanday belgilanadi?
   
4. 
   Natural logarifm qanday belgilanadi?
   

5. O'nli logarifmning xossalarini ayting.

Mustaqil yechish uchun mashqlar

Hisoblang:

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) log₂3∙ log₃ 4∙ log₄ 5∙ log₅ 6∙ log₆ 5∙ log₅ 4∙ log₄3∙ log₃ 2;

9) lg6; 10) lg72.

2. Agar: 1) log₆8 = c bo’lsa, log₂₄72;

2) log₃₆8 = b bo’lsa, log₃₆ 9;

3) log₁₀₀₀ 9 = a va log₁₀₀₀ 4=b bo’lsa, log₅6 ni toping.

3. log₅ 2 = a va log₅ 3 = b ekani ma’lum. Quyidagilarni a va b orqali

ifodalang: 1) log₅ 72; 2) log₅ 15; 3) log₅ 12; 4) log₅ 30.

4. Hisoblang:

Savollar:

1. 
   O'nli logarifm deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Natural logarifm deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   O'nli logarifm qanday belgilanadi?
   
4. 
   Natural logarifm qanday belgilanadi?
   
5. 
   O'nli logarifmning xossalarini ayting.
   

1 .1) 4^x-1≥1; 2) 0,3^3x-2=1; 3) 2^2x≥2⁴; 4) (1/3)^3x≥ (1/3)^-2;
5) 27^x=1/3; 6) 400^x≥1/20; 7) (1/5)^x=25; 8) (1/3)^x=1/81;
9) 3∙9^x≥81; 10) 2∙4^x=64; 11) 3^x+1/2+3^x-2 ≥1; 12) 0,5^x+7 ∙ 0,5^1-2x=2;
13) 0,6^x+3≥ 0,6^2x-5; 14) 6 ^3x-1=6 ^1-2x; 15) 3 ^2x-1+3 ^2x≥108;
16) 3^x-1+3 ^2x+3^x+1 =63; 17) 2^3x+2 -2^3x-2 ≥30; 18) 2^x+1+2^x-1+2^x ≥28;
2.

3.

Savollar:

1. 
   Ko’rsatkichli funksiyalar deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Ko’rsatkichli funksiyalarning asosiy xossalarini ayting.
   
3. 
   Ko'rsatkichli funksiyaning aniqlanish va o'zgarish sohalari haqida nimalar bilasiz?
   
4. 
   Funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlari haqida nimalar bilasiz?
   
5. 
   Ko’rsatkichli tenglamalar deb nimaga aytiladi?
   
6. 
   Ko'rsatkichli tenglamalarni yechishning asosiy usullarini ayting.
   

8. Asosiy logarifmik ayniyatni yozing.

9. Ko'paytmaning logarifmi nimaga teng?

10. Bo'linmaning logarifmi nimaga teng?

11. Darajaning logarifmi nimaga teng?

12. Ildizning logarifmi nimaga teng?