Ko‘phad uchun Teylor formulasi. Ixtiyoriy funksiyaning Teylor formulasi va uning qoldiq hadlari. Ba’zi funksiyalarning Teylor formulalari”

2. Sinus funksiya uchun Makloren formulasi
Yechish. funksiyaning istalgan tartibli hosilasi mavjud va n-tartibli hosila uchun quyidagi formula o‘rinli edi
da va

Shuning uchun
(5.5)
ko‘rinishdagi yoyilmaga ega bo‘lamiz.

(2-chizma)
2-chizmada funksiyalarning grafiklari keltirilgan.
3. Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi.
Yechish. Ma’lumki, funksiyaning -tartibli hosilasi uchun formulaga egamiz da va

Demak, funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli:
(5.6)
(3-chizma)
3-chizmada funksiyalarning grafiklari keltirilgan.
4. funksiya uchun Makloren formulasi
Yechish. Bu funksiyaning intervalda aniqlangan va istalgan tartibli hosilasi mavjud. Haqiqatan ham, funksiyasiga (5.5) formulani qo‘llab, unda deb n ni bilan almashtirsak, formulani hosil qilamiz. Ravshanki,

Shuni e’tiborga olib, berilgan funksiyaning Makloren formulasini yozamiz:

5.   funksiya uchun Makloren formulasi.
Yechish. Bu funksiya intervalda aniqlangan va cheksiz marta differensiallanuvchi. Uni Makloren formulasiga yoyish uchun  funksiyadan ketma-ket hosilalar olamiz:
_(5.7)
Ravshanki,
Shuning uchun

funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
(5.8)
6. Ushbu  funksiya uchun Makloren formulasi
Yechish. Bu funksiyaning Makloren formulasini yozish uchun

larnitopib, Makloren qatorining formulasidan foydalanish mumkin edi. Lekin funksiyaning yoyilmasidan foydalanish ham mumkin. Buning uchun (5.1) formuladagi  ni ga almashtiramiz, natijada
,
formulaga ega bo‘lamiz.