Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости

Вычисление вероятности P_m,n появления события A при большом числе испытаний п по формуле Бернулли затруднительно. Возникает вопрос о нахождении формул, с помощью которых вероятность P_m,n можно вычислить приближенно. Такие формулы называют асимптотическими. Наиболее простой из них является формула Пуассона.
Теорема (теорема Пуассона). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний п, причем произведение np стремится к постоянному числу , то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях, приближенно равна
, где =np .
Доказательство. По формуле Бернулли . При достаточно больших значениях п имеем .
Тогда,
, так как
,
и .
Теорема доказана.
Условия применения:
п – велико, р – мало, так что пр10;
значение функции Пуассона определяется по таблице (приложение III в учебном пособии [1]).

3. Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях при достаточно большом числе п, приближенно равна
, где и .
Условия применения:
n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 ;
значение f(x) определяется по таблице (приложение I в учебном пособии [1]).
Пользуясь таблицей, можно применять очевидные свойства функции f(x):

1. 
   Функция f(x) является четной, т.е. f(-x)= f(x).
   
2. 
   Функция f(x) убывает на промежутке [0;+).
   
3. 
   f(x)0 при + . Практически можно считать, что f(x)0 уже при x>4 .