Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Формулы полной вероятности и Байеса являются следствием двух основных теорем теории вероятностей: теоремы сложения и теоремы умножения вероятностей.
Теорема 1. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий А₁ , А₂ , ... , А_n , образующих полную группу событий, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события F :
.
Доказательство. События А₁ , А₂ , ... , А_n образуют полную группу событий, следовательно, они единственно возможные и несовместимые.
Событие F может произойти только при условии появления одного из этих событий:
F = А₁F + А₂F+ ... +А_nF .
По теореме сложения вероятностей для несовместимых событий получаем
.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий для каждого i=1, 2, …, n имеем
.
Из последних двух формул следует формула полной вероятности. Теорема доказана.


Формула Байеса позволяет произвести количественную переоценку вероятностей событий Р(А_i) (i = 1, 2, ..., п), известных до испытания, лишь после того, как событие F произошло, т.е. найти условные вероятности событий Р_F(А_i) , получаемые после проведения испытания.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий для каждого i=1, 2, …, n имеем
.
Следовательно: .
Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события F, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.
ЛЕКЦИЯ 3