Конкурс научных работ «Ученые будущего»

3. Примеры задач на использование формул квадрата суммы и разности

Квадрат суммы и квадрат разности — формулы, правило квадрата и примеры решения

Для успешного решения математических задач часто бывает необходимо уметь преобразовывать созданные выражения. Для этого применяют базовые знания, формулы сокращённого умножения, в том числе, квадрат суммы и квадрат разности.

Они помогают упрощать громоздкие записи, более рационально подходить к приведению дробей к одному знаменателю, решению уравнений и задач по геометрии, тригонометрии, математическому анализу, физике, химии, экономическим дисциплинам и многим другим наукам.

Поэтому среди многих разделов математики школьная алгебра занимает базовую приоритетную позицию, дающую основы вычислений для смежных предметов.

Формула квадрата разности
Для получения формулы применяют правило умножения многочлена на многочлен: нахождение суммы произведений каждого слагаемого одной скобки на каждое слагаемое второй скобки, учитывая, что квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного:

Если запомнить правило, то необходимость постоянно прописывать эту цепочку равенств исчезает.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов каждого из выражений без их удвоенного произведения:

Примеры задач с решением
Задача №1
Требуется возвести в квадрат разность (8x — 3y).

Решение.

При использовании формулы получается:

Ответ: 64x2 — 48xy + 9y2.
Задача №2
Упростить выражение:

b2 + 49 — (b — 7)2

Решение.

Ответ: 14b.
Формула квадрата суммы и неполного квадрата суммы
Также легко, как и в предыдущем случае, выводится эта формула:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов каждого из них плюс их удвоенное произведение:

Многие школьники, начинающие знакомиться с этим материалом, часто теряют двойку во втором слагаемом правой части, получая

Однако, в этом случае, возникает неполный квадрат суммы (или разности), который на множестве действительных чисел не раскладывается на множители.

Обе формулы применяются не только для раскрытия скобок, но и для разложения на множители, что в свою очередь упрощает приведение к одному знаменателю, сокращение дробей, решение уравнений высоких степеней.

Примеры задач с решением
Задача №3
Преобразовать трёхчлен в квадрат двучлена:

28xy + 49x2 + 4y2

Решение.

Поскольку квадраты находятся на втором и третьем местах, поменяем слагаемые между собой и подготовим выражение для применения формулы:

Ответ: (7x + 2y)2. 

Возведение во вторую степень суммы трёх и более слагаемых выполняется аналогично: необходимо возвести в квадрат каждый элемент, записать все возможные удвоенные произведения и сложить полученные результаты.

Правила возведения в степени более высоких порядков возникают, когда выполняется умножение одинаковых многочленов несколько раз.

Возможность выполнять возведение в квадрат больших чисел, не используя калькулятор, является одним из преимуществ сокращённого умножения.

Задача №4
Выполнить раскрытие скобок и упростить:

(x2 + 3x — 4y)2 — x4 — 9x2 — 16y2

Решение.

Ответ: 6x3 — 8x2 — 24xy.

Задача №5

Вычислить:

1032 + 1972

Решение.

Для каждого слагаемого применяется одно из правил возведения в квадрат, затем производится суммирование результатов:

Решая квадратные уравнения, вместо поиска дискриминанта выделяют полный (точный) квадрат среди слагаемых, расположенных в левой части. В правую сторону собираются оставшиеся элементы.

Задача №6

Решить уравнение:

x2 — 4x — 5 = 0

Решение.

Первые два слагаемых левой части полностью удовлетворяют формуле квадрата суммы. Соотнеся их с соответствующими элементами правила, определяют, прибавляют и вычитают третье, затем сворачивают в точный квадрат, остальные члены алгебраической суммы переносят в правую сторону:

Решениями исходного уравнения являются корни уравнений

Ответ: x = 5 или x = -1.

Разность квадратов
Ещё одной формулой сокращённого умножения является разность квадратов. Она получается при умножении суммы двух выражений на их разность

Применение последней записи справа налево есть раскрытие скобок более удобным способом, чем простое умножение многочленов.

Разложение на множители позволяет судить о наличии целых или натуральных корней квадратного уравнения.

Пример задачи с решением
Задача №7
Сократить дробь:

Решение.

В числителе записан квадрат разности, а в знаменателе – разность квадратов двух выражений. Применяя соответствующие формулы, получается искомый результат:

Ответ: