Kompyuter tizimlari

Shartli misolda regressiya tenglamasini hisoblash.

Misol. Oddiy regressiya hisoblansin.

Y - iste’mol xarajatlari; X - Shaxsiy daromad.

Yillar	Y	X	X^2	X^Y	Y^2
1980	195,0	207,7	43139,3	40501,5	38025,0
1981	209,8	227,5	51756,3	47729,5	44016,0
1982	219,8	238,7	56977,7	52466,3	48312,0
1983	232,6	252,5	63756,3	58731,5	54102,8
1984	238,0	256,9	65997,6	61142,2	56644,0
1985	256,9	274,4	75295,4	70493,4	65997,6
1986	269,9	292,9	85790,4	79053,7	72846,0
1987	285,2	308,8	95357,4	88069,8	81339,0
1988	293,2	317,9	101060,4	93208,3	85966,2
1989	313,5	337,1	113636,4	105681,4	98282,2
1990	328,2	349,9	122430,0	114837,2	107715,0
1991	337,3	364,7	133006,1	123013,4	113771,1
1992	356,8	384,6	147917,2	137225,0	127306,2
1993	375,0	402,5	162006,3	150937,1	140625,3
1994	399,2	431,8	186451,2	172375,2	159361,2
Summa	4310,4	4647,9	1504576,0	1395464,0	1294309,0

T=15; = 4310,4/15=287,36

(x-x)=x-tx=1504576-15(309,86)=64378

(y-y)=y-ty=1294309-15(287,36)=55672=SST

(x-x)·(y-y)=xy-txy==1395464-15(309,86)(287,36)=59843

=y-x=287,36-(0,92956)(309,86)=0,6735

55627 SSE=SST-SSR=55672-55627=45



=16237

t=F=127,4



y=-0,6735+0,92956·x=(127,4)

R=0,9992

F=16237

T=15

(y-y)=y-ty=1294309-15(287,36)=55672

SST=(x-x)·(y-y)=xy-txy=1395464-16(309,86)(287,36)=59843

= =y-x=287,36-(0,92956)(309,86)=0,6735

55627

SSE=SST-SSR=55672=45





t=F=127,4

S=SSE/(T-2)=45/13=3,46

Y=-0,6735+0,92956X=(127,4)

R=0,9992

F=1623

3. Regressiya tenglamasi va regressiya chizig‘i.

Korrelyatsion bog‘liqlik ta’rifini aniqlashtiramiz, buning uchun shartli o‘rtacha qiymat tushunchasini kiritamiz.

Shartli o‘rtacha qiymat deb, Y tasodifiy miqdorning X=x qiymatiga mos qiymatlarining arifmetik o‘rtacha qiymatiga aytiladi.

Masalan, X miqdorning x₁=2 qiymatiga Y miqdorning y₁=3, y₂=5, y₃=6, y₄=10 qiymatlari mos kelsin. U holda, shartli o‘rtacha qiymat

ga teng.

Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi deb, _x shartli o‘rtacha qiymatning

x ga funksional bog‘liqligiga aytiladi:

(15.1)

X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi:

(15.2)

_(15.1) va (15.2) tengliklar mos ravishda Y ning X ga va X ning Y ga nisbatan regressiya tenglamasi deyiladi.

f(x) va funksiyalar- regressiya funksiyalari, ularning grafiklari esa regressiya chizig‘i deyiladi.

Korrelyatsion nazariyasining asosiy masalalaridan biri korrelyatsion bog‘lanish shaklini aniqlash, ya’ni uning regressiya funksiyasi ko‘rinishini (chiziqli, kvadratik, ko‘rsatkichli va hokozo) topishdan iborat. Regressiya funksiyalari ko‘p hollarda chiziqli bo‘ladi. Ikkinchi masala korrelyatsion bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni aniqlash.

Y ning X ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi zichligi Y ning qiymatlarini _x shartli o‘rtacha qiymat atrofida tarqoqligining kattaligi bo‘yicha baholanadi: ko‘p tarqoqlik Y ning X ga kuchsiz bog‘liqligidan yoki bog‘liqlik yo‘qligidan darak beradi; kam tarqoqlik ancha kuchli bog‘liqlik borligini ko‘rsatadi. X ning Y ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligining zichligi ham shu kabi baholanadi.

Chiziqli regressiya

Y va X son belgilar chiziqli korrelyatsion boglangan bo‘lsin. Eng sodda holni qaraymiz. X belgining turli x qiymatlari va Y belgining ularga mos qiymatlari bir martadan kuzatilgan bo‘lsin:

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Bu qiymatlar bir martadan kuzatilganligi uchun shartli o‘rtacha qiymatdan foydalanishga ehtiyoj yo‘q. Regressiya tenglamasini

<sub>(15.3)

ko’rinishda izlaymiz, bu yerda, - Y ning X ga</sub> nisbatan _{regressiya koeffitsiyenti deyiladi.}







1-misol. Semestr yakunida yakuniy nazoratdan avval guruh talabalaridan 12 tasi orasida so‘rov o‘tkazildi. So‘rovdan maqsad talabalar semestrni qanday ballarda o‘zlashtirishlarini aniqlash (5 balli bahoda). Kutilgan ballar va yakuniy baholashdan keyingi natijalar quyidagi jadvalda keltirilgan.

Kutilgan ballar	3,2	3,0	3,10	2,8	3,4	3,8	4,0	3,7	2,9	4,5	4,6	4,2
Olingan ballar	4,0	3,8	3,5	3,0	4,4	4,2	4,6	4,5	3,1	4,1	4,8	4,0

Berilgan ma’lumotlar bo‘yicha chiziqli regressiya tenglamasini tuzing.

Yechish. Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzamiz. Shu maqsadda quyidagi jadvalni tuzamiz.

№
1	3,2	4,0	12,80	10,24	16,00	4,06	3,67
2	3,0	3,8	11,40	9,00	14,44	4,08	3,56
3	3,10	3,5	10,85	9,61	12,25	4,07	3,40
4	2,8	3,0	8,40	7,84	9,00	4,10	3,14
5	3,4	4,4	14,96	11,56	19,36	4,03	3,88
6	3,8	4,2	15,96	14,44	17,64	3,98	3,78
7	4,0	4,6	18,40	16,00	21,26	3,96	3,99
8	3,5	4,5	15,75	12,25	20,25	4,02	3,94
9	3,9	3,1	12,09	15,21	9,61	3,97	3,19
10	4,5	4,1	18,45	20,25	16,81	3,9	2,72
11	4,6	4,8	22,08	21,26	23,04	3,89	4,09
12	4,2	4,0	16,80	17,64	16,00	3,93	3,67
	44	48	177,94	145,05	195,66	48	44

Shunday qilib, =-0,12x+4,44.

_{2. Endi X ning Y ga regressiya tenglamasini tuzamiz.}


Shunday qilib, =0,53y+1,55.

Eslatma. 1. Agar r=0, bo‘lsa u holda X va Y lar chiziqli korrelyatsion bog‘lanmagan.

2. Agar bo‘lsa, X va Y lar funksional bog‘langan.

2-misol. Quyidagi korelyatsion jadvalda keltirilgan ma’lumotlar bo‘yicha Y ning X ga regressiya tenglamasini tuzing.

Y\X	5	10	15	20	25	30	35	40	nu
100	2	1	-	-	-	-	-	-	3
120	3	4	3	-	-	-	-	-	10
140	-	-	5	10	8	-	-	-	23
160	-	-	-	1	-	6	1	1	9
180	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nx	5	5	8	11	8	6	5	2	50

Yechish. Shartli variantalarga o‘tamiz.

bu yerda, C₁- coxta nol sifatida eng katta chastotaga ega x=20 varianta olindi, h₁=5 qadam qo‘shni variantalar orasidagi ayirmaga teng (10-5=5); xuddi shuningdek,

.

Xuddi shuningdek,

Endi shartli variantalar bo‘yicha korrelyatsion jadval tuzamiz:

v\	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	nυ
-2	2	1							3
-1	3	4	3						10
0	-	-	5	10	8				23
1	-	-	-	1	-	6	1	1	9
2	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nu	5	5	8	11	8	6	5	2	50

va larni hisoblaymiz:











_.
ni hisoblaymiz. Jadvaldan,

Izlanayotgan korrelyatsion koeffitsiyentni topamiz

Bu kattalik 1 (bir) soniga ancha yaqin bo‘lib, va (umuman, X va Y) lar orasida kuchli chiziqli bog‘lanish borligini ko‘rsatadi.

Shunday qilib, yuqoridagilarga asosan,

Topilganlarni (15.9) ga qo‘yamiz:

yoki