Kislik va uning


Tekislikning umumiy tenglamasini normal ko’rinishiga keltirish



Download 1,52 Mb.
bet2/3
Sana27.06.2022
Hajmi1,52 Mb.
#708787
1   2   3
Bog'liq
Tekislik tenglamalari

Tekislikning umumiy tenglamasini normal ko’rinishiga keltirish.


Yuqorida tekislikning (12)-ko’rinishidagi tenglamasini ikkita
nr = {A, B,C} va

r r

r = M 0 M
vektorlarning skalyar ko’paytmasi ko’rinishida yozish mumkinligini



ko’rsatgan edik. Endi tekislikning (12)-ko’rinishidagi tenglamasining

Ax + By + Cz + D = 0
(13)

ko’rinishini (13)- dan foydalanib, quyidagi
nr = {A, B,C} vа
rr = {x, y, z}
vektorlarning

skalyar ko’paytmasi
(nrrr} = Ax + By + Cz
yordamida o’zgartirib yozamiz. Unda


tekislikning vektor ko’rinishidagi tenglamasi
(nrrr)+ D = 0


(14)

ko’rinishini oladi. Bu yerda nr - tekislikning normal vektori, esa rr tekislik nuqtasining radius-vektoridir. Agar normal vektorni

nr = nro × nr
= nro × n
(15)



ko’rinishida yozish mumkinligini e`tiborga olsak, (14)-ushbu ko’rinishga keladi.

(16)-tenglikni (± n)
(nrorr)n + D = 0
ga bo’lsak,
(16)


hosil bo’ladi. Quyidagi
± (nrrr) + D = 0
± n
(17)


D f 0


D p 0
D = - p

  • n

D = - p

  • n



(18)

belgilashlarni kiritib, tekislikning ushbu
± (nrorr)- p = 0
normal tenglamasini hosil qilamiz. Demak, tekislikning (13)-ko’rinishidagi tenglamasini normal ko’rinishga keltirish uchun tenglamaning hamma hadlarini

± n ga bo’lish yoki
M = 1 gа ko’paytirish kerak. Agar
± n



n = ekanini e`tiborga olsak,



M = ±
1
A2 + B2 + C2
(19)


ga ega bo’lib, unga normallovchi ko’paytuvchi deyiladi. Agar
D > 0
bo’lsa,

M manfiy ishora bilan, agar
D p 0
bo’lsa, M musbat ishora bilan olinadi.

Shunday qilib, (4.38)- tenglamani M ga ko’paytirsh namunasiga (12)- ko’rinishidagi normal tenglama ko’rinishiga keladi.

MAx + MBy + MCz + MD = 0
(20)



(20)- va (8)- ni solishtirib, quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz.



cosa = ±
A
A2 + B2
,

  • C2

cosb = ±
B
A2 + B2
,

  • C2

сosg = ±
C A2 + B2
,

  • C2

p = ±

Misol. Tekislikning
6x + 7 y + 6z - 34 = 0
ko’rinishidagi umumiy tenglamasi



berilgan. Bu tekislikning normal tenglamasini tuzing va normalining yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.

Yechish.Berilgan tenglamada:
A = 6, B = 7, C = 6, D = -34
(20)-formulaga



asosan normallovchi ko’paytuvchini topamiz.


M = + = 1 11



Berilgan umumiy ko’rinishdagi tenglamani
1 ga ko’paytirib, tekislikning
11


6 x + 7
y + 6 z - 34 = 0

11 11
11 11

ko’rinishidagi normal tenglamasini hosil qilamiz. Bu yerdan esa yo’naltiruvchi kosinuslarini topamiz:

cosa = 6 ,
11
cos b = 7 ,
11
cosg
= 6 .
11

Berilgan nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa. Berilgan


M (x1 , y1 , z1 )



nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofasini topish masalasini qaraymiz. Bu chetlanishni d deb, M nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofani d deb olsak, ular orasida quyidagi munosabat mavjud: agar M nuqta va koordinatalar

boshi tekislikning har tomonida bo’lsa,
d = d
aks holda, ya`ni M nuqta va

koordinatalar boshi tekislikning bir tomonida bo’lsa,
d = -d
bo’ladi. Biz birinchi

hol bilan chegaralanamiz. 4.19-chizmadan ko’rinib turibdiki,



d = PQ = OQ - OP
(21)

shu bilan birga, OM vektorning
nro
birlik normal vektorga proyektsiyasi ikki

vektorning skalyar ko’paytmasiga teng:




no
OQ = ÏÐ r ÎÌ
= (nr 0 × ÎÌ )

Agar
nro = {cosa ;


cos b ;
cosg },
ОМ = {x ; y ; z } ekanligini nazarda tutsak,

1 1 1

OQ = x1 cosa + y1 cosb + z1 cosg
(22)


ni topamiz.
OP = p ligini (I punktga qarang) e`tiborga olib, (21) ni (22)



yordamida qayta yozamiz:



d = x1 cosa + y1 cosb + z1 cosg - p
(23)



Bu nuqtaning tekislikdan chetlanishidir. Nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa quyidagi formula yordamida topiladi:

d = ± x1 cosa + y1 cosb + z1 cosg - p
(24)


Masala.
M (2, 1, 2)
nuqtadan
6x + 7 y + 6z - 34 = 0
tekislikkacha bo’lgan



masofani toping.
z


y


x



edi:
Yechish. Yuqorida bu tekislik tenglamasi normal ko’rinishiga keltirilgan

6 x + 7
y + 6 z - 34 = 0

11 11
11 11


formulaga asosan,
x1 = 2, y1 = 1 vа
z1 = 2
ligini e`tiborga olib, d ni topamiz:


d = 6 × 2 + 7 ×1 + 6 × 2 - 34
= 12 + 7 + 12 - 34
= - 3
= 3



Demak,
11
d = 3 .
11
11 11 11 11
11 11



Ikki tekislik orasidagi burchak. Ikki tekislikning parallellik va perpendikulyarlik shartlari. Ikki tekislik o’zining (23)-ko’rinishidagi
tenglamalari bilan berilgan bo’lsin:


1 1
(rrnr )+ D = 0,

2 2
r
(rrnr )+ D = 0

bu yerda
n1
n2 -tekisliklarning normal vektorlaridir. Bu ikki tekislik orasidagi

burchak ikki yoqli burchak bilan aniqlanib, u esa o’z navbatida o’zining



chiziqli burchagi
Ù
А В С = j
bilan o’lchanadi (4.20-chizma).

4 –chizma.


Shu bilan birga ikki tekislik orasidagi burchak ularning normal vektorlari orasidagi burchakka tengdir. Shuning uchun ham berilgan ikki tekislik orasidagi burchakni ularning normallari, ya`ni ikki vektor orasidagi burchak sifatida aniqlaymiz.

r r

Ma`lumki,
cosj = (n1 × n2 ) . Agar berilgan tekisliklar bir-biriga parallel bo’lsa,

n1 n2


ularning normal vektorlari kollinear bo’ladi va shuning uchun tekisliklar
parallelligining zarur va yetarli sharti
r r
n1 = l n2
tenglik bilan ifodalanadi, bu yerda l biror o’zgarmas son. Shunga o’xshash berilgan tekisliklarning perpendikulyarlik sharti, ularning normallarining perpendikulyarlik shartiga teng bo’lib, bu shart normal vektorlari skalyar ko’paytmasining nolga teng bo’lishi bilan aniqlanadi.
r r
(n1 × n2 ) = 0
Endi tekisliklar umumiy tenglamalari bilan berilganda, yuqoridagi shartlar qanday ko’rinishda bo’lishini aniqlaylik. Ushbu
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0
va
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

tekisliklar berilgan bo’lsin. Bu tekisliklarning normal vektorlari
n1 = {A1 , B1 , C1} vа

n2 = {A2 , B2 , C2}
bo’ldi. Unda ikki vektorning skalyar ko’paytmasi ta`rifidan



foydalanib, ikki tekislik orasidagi burchakni (ularning normallari orasidagi burchak) hisoblash formulasini quyidagi ko’rinishda olamiz:

cosj =
A1 A2 + B1B2 + C1C2
(25)

A2 + B2 + C2
A2 + B2 + C2

1 1 1 2 2 2


Ikki tekislikning parallellik sharti (normallarining parallelligi)



A1 A2
ko’rinishni oladi.
= B1 B2
= C1 C2
(26)

Va nihoyat ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti (normallarining perpendikulyarligi)

A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0
ko’rinishini oladi.
(27)

Download 1,52 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish