Kislik va uning

Tekislikning umumiy tenglamasini normal ko’rinishiga keltirish.

Yuqorida tekislikning (12)-ko’rinishidagi tenglamasini ikkita
n^r = {A, B,C} va

_r r

r = M ₀ M
vektorlarning skalyar ko’paytmasi ko’rinishida yozish mumkinligini

ko’rsatgan edik. Endi tekislikning (12)-ko’rinishidagi tenglamasining

Ax + By + Cz + D = 0
(13)

ko’rinishini (13)- dan foydalanib, quyidagi
n^r = {A, B,C} ^vа
r^r = {x, y, z}
vektorlarning

skalyar ko’paytmasi
(n^rr^r} = Ax + By + Cz
yordamida o’zgartirib yozamiz. Unda

tekislikning vektor ko’rinishidagi tenglamasi
(n^rr^r)+ D = 0


(14)

ko’rinishini oladi. Bu yerda n^r - tekislikning normal vektori, esa r^r tekislik nuqtasining radius-vektoridir. Agar normal vektorni

n^r = n^ro × n^r
= n^ro × n
(15)

ko’rinishida yozish mumkinligini e`tiborga olsak, (14)-ushbu ko’rinishga keladi.

(16)-tenglikni (± n)
(n^ror^r)n + D = 0
ga bo’lsak,
(16)

hosil bo’ladi. Quyidagi
± (n^rr^r) + ^D = 0
± n
(17)

D f 0 dа


D p 0 dа
^D = - p

• 
  n
  

^D = - p

• 
  n
  

(18)

belgilashlarni kiritib, tekislikning ushbu
± (n^ror^r)- p = 0
normal tenglamasini hosil qilamiz. Demak, tekislikning (13)-ko’rinishidagi tenglamasini normal ko’rinishga keltirish uchun tenglamaning hamma hadlarini

± n ga bo’lish yoki
^{M = 1} gа ko’paytirish kerak. Agar
± n

n = ^{ekanini e`tiborga olsak,}

M = ±
1
A² + B² + C²
(19)

ga ega bo’lib, unga normallovchi ko’paytuvchi deyiladi. Agar
D > 0
bo’lsa,

M manfiy ishora bilan, agar
D p 0
bo’lsa, M musbat ishora bilan olinadi.

Shunday qilib, (4.38)- tenglamani M ga ko’paytirsh namunasiga (12)- ko’rinishidagi normal tenglama ko’rinishiga keladi.

MAx + MBy + MCz + MD = 0
(20)

(20)- va (8)- ni solishtirib, quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz.

cosa = ±
A
A² + B²
,

• 
  C²
  

cosb = ±
B
A² + B²
,

• 
  C²
  

сosg = ±
C A² + B²
,

• 
  C²
  

p = ±

Misol. Tekislikning
6x + 7 y + 6z - 34 = 0
ko’rinishidagi umumiy tenglamasi

berilgan. Bu tekislikning normal tenglamasini tuzing va normalining yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.

Yechish.Berilgan tenglamada:
A = 6, B = 7, C = 6, D = -34
(20)-formulaga

asosan normallovchi ko’paytuvchini topamiz.


M = + = ¹ 11

Berilgan umumiy ko’rinishdagi tenglamani
¹ ga ko’paytirib, tekislikning
11

6 _{x +} 7
y + ⁶ z - ³⁴ = 0

11 11
11 11

ko’rinishidagi normal tenglamasini hosil qilamiz. Bu yerdan esa yo’naltiruvchi kosinuslarini topamiz:

cosa = ⁶ ,
11
cos b = ⁷ ,
11
cosg
= ⁶ .
11

Berilgan nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa. Berilgan

M (x₁ , y₁ , z₁ )

nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofasini topish masalasini qaraymiz. Bu chetlanishni ^d deb, M nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofani d deb olsak, ular orasida quyidagi munosabat mavjud: agar M nuqta va koordinatalar

boshi tekislikning har tomonida bo’lsa,
d = d
aks holda, ya`ni M nuqta va

koordinatalar boshi tekislikning bir tomonida bo’lsa,
d = -d
bo’ladi. Biz birinchi

hol bilan chegaralanamiz. 4.19-chizmadan ko’rinib turibdiki,

d = PQ = OQ - OP
(21)

shu bilan birga, OM vektorning
_nr_o
birlik normal vektorga proyektsiyasi ikki

vektorning skalyar ko’paytmasiga teng:

_no
OQ = ÏÐ r ÎÌ
= (n^{r 0} × ÎÌ )

Agar
n^ro = {cosa ;


cos b ;
cosg },
ОМ = {x ; y ; z } ^{ekanligini nazarda tutsak,}

1 1 1

OQ = x₁ cosa + y₁ cosb + z₁ cosg
(22)

ni topamiz.
OP = p ^{ligini (I punktga qarang) e`tiborga olib, (21) ni (22)}

yordamida qayta yozamiz:

d = x₁ cosa + y₁ cosb + z₁ cosg - p
(23)

Bu nuqtaning tekislikdan chetlanishidir. Nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa quyidagi formula yordamida topiladi:

d = ± x₁ cosa + y₁ cosb + z₁ cosg - p
(24)

Masala.
M (2, 1, 2)
nuqtadan
6x + 7 y + 6z - 34 = 0
tekislikkacha bo’lgan

masofani toping.
z


y


x

edi:
Yechish. Yuqorida bu tekislik tenglamasi normal ko’rinishiga keltirilgan

6 _{x +} 7
y + ⁶ z - ³⁴ = 0

11 11
11 11

formulaga asosan,
x₁ = 2, y₁ = 1 vа
z₁ = 2
ligini e`tiborga olib, d ni topamiz:

d = ⁶ × 2 + ⁷ ×1 + ⁶ × 2 - ³⁴
₌ 12 + 7 + 12 - 34
₌ - 3
₌ 3

Demak,
11
d = ³ .
11
11 11 11 11
11 11

Ikki tekislik orasidagi burchak. Ikki tekislikning parallellik va perpendikulyarlik shartlari. Ikki tekislik o’zining (23)-ko’rinishidagi
tenglamalari bilan berilgan bo’lsin:

1 1
(r^rn^r )+ D = 0,

2 2
r
(r^rn^r )+ D = 0

bu yerda
n₁ vа
n₂ -tekisliklarning normal vektorlaridir. Bu ikki tekislik orasidagi

burchak ikki yoqli burchak bilan aniqlanib, u esa o’z navbatida o’zining

chiziqli burchagi
Ù
А В С = j
bilan o’lchanadi (4.20-chizma).

4 –chizma.

Shu bilan birga ikki tekislik orasidagi burchak ularning normal vektorlari orasidagi burchakka tengdir. Shuning uchun ham berilgan ikki tekislik orasidagi burchakni ularning normallari, ya`ni ikki vektor orasidagi burchak sifatida aniqlaymiz.

r r

Ma`lumki,
cosj = ^{(n1 × n2 )} . Agar berilgan tekisliklar bir-biriga parallel bo’lsa,

n₁ n₂


ularning normal vektorlari kollinear bo’ladi va shuning uchun tekisliklar
parallelligining zarur va yetarli sharti
r r
n₁ = l n₂
tenglik bilan ifodalanadi, bu yerda ^l biror o’zgarmas son. Shunga o’xshash berilgan tekisliklarning perpendikulyarlik sharti, ularning normallarining perpendikulyarlik shartiga teng bo’lib, bu shart normal vektorlari skalyar ko’paytmasining nolga teng bo’lishi bilan aniqlanadi.
r r
(n₁ × n₂ ) = 0
Endi tekisliklar umumiy tenglamalari bilan berilganda, yuqoridagi shartlar qanday ko’rinishda bo’lishini aniqlaylik. Ushbu
A₁x + B₁ y + C₁z + D₁ = 0
va
A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0

tekisliklar berilgan bo’lsin. Bu tekisliklarning normal vektorlari
n₁ = {A₁ , B₁ , C₁} vа

n₂ = {A₂ , B₂ , C₂}
bo’ldi. Unda ikki vektorning skalyar ko’paytmasi ta`rifidan

foydalanib, ikki tekislik orasidagi burchakni (ularning normallari orasidagi burchak) hisoblash formulasini quyidagi ko’rinishda olamiz:

cosj =
A₁ A₂ + B₁B₂ + C₁C₂
(25)

A² + B² + C²
A² + B² + C²

1 1 1 2 2 2


Ikki tekislikning parallellik sharti (normallarining parallelligi)

A₁ A₂
ko’rinishni oladi.
₌ B₁ B_2
= C₁ C₂
(26)

Va nihoyat ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti (normallarining perpendikulyarligi)

A₁ A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0
ko’rinishini oladi.
(27)