Kirish. Mavzu: Xarakteristik funksiyalar. Reja

2. Xarakteristik funksiya orqali taqsimot funksiyani ifodalash formulasi
Har bir tasodifiy miqdor uchun unga mos xarakteristik funksiya mavjudligini avvalgi paragrafda ko’rdik. Turli taqsimot funksiyalarga turli xarakteristik funksiyalar mos keladi hamda taqsimot funksiya xarakteristik funksiya orqali bir qiymatli aniqlanadi.
Agar  funksiyalar mos ravishda  tasodifiy miqdorning xarakteristik va taqsimot funksiyalari bo’lsa hamda  va  funksiyaning uzluksiz nuqtalari bo’lsa, u holda

Bu teoremadan quyidagi atijani isbotlash mumkin: agar  absolyut integrallanuvchi  bo’lsa, u holda  mavjud, uzluksiz, chegaralangan
va 
Quyidagi integralni hisoblaymiz:


Matematik analiz kursidan ma’lumki,

Ushbu
ifoda c bo’yicha tekis chegaralangandir. Demak,

Bevosita ishonch hosil qilish mumkinki,  va  lar uchun

Natijada

Shu bilan birga dan va  funksiyaning juftligidan

Agar  va  nuqtalarni  funksiyaning  uzluksiz  nuqtalari ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan

ifoda hosil bo’ladi. Agar  integralni

ko’rinishda ifodalash mumkinligini e’tiborga olsak, lardan va oxirgi tenglikdan teorema isboti kelib chiqadi.
Natija. Yagonalilik qoydasi.  Taqsimot funksiya o’z xarakteristik funksiyasi orqali bir qiymatli aniqlanadi. Agar  ayirma  da  funksiyani bir qiymatli aniqlashini e’tiborga olsak, u holda yuqoridagi teoremadan natijaning isboti kelib chiqadi.
Xarakteristik funksiyalardan foydalanib, normal qonuning quyidagi muhim xossasini keltiramiz. Normal qonun bo’yicha taqsimlangan bog’liq bolmagan  va  tasodifiy miqdorlarning yig’indisi yana normal taqsimotga ega bo’ladi.
Xaqiqatdan ham, bog’liq bo’lmagan  va  tasodifiy miqdorlar mos ravishda  va  parametrlar bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda  yig’indining xarakteristik funksiyasi:

Demak,  yig’indi parametrli normal taqsimotga ega.
Aksincha,  va  xarakteristik funksiyalar uchun

bo’lsa, u holda

Agar integral ostidagi funksiyalarning  oraliqda chegaralanganini e’tiborga olsak,

bo’lishligini G. Karmer isbotlagan, ya’ni o’zaro bog’liq bo’lmagan  va  tasodifiy miqdorlar yig’indisi  normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda qo’shiluvchilarning har biri ham normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.
parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin. Uning xarakteristik funksiyasi quyidagiga teng:

Endi o’zaro bog’liq bo’lmagan  va  tasodifiy miqdorlar mos ravishda  va  parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’lsin.  Ular yig’indisining  xarakteristik  funksiyasi quyidagiga teng:

Demak,  tasodifiy miqdor  parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.

Xulosa

• 
  Bu kuzatilayotgan nisbiy chastotaning xodisa ro’y berishining gipotetik extimoli bilan taqqoslash mavzusida biz o’tgan mavzularni yana bir-bor takrorlab chiqdik,uning asosiy formulasi va misolardan foydalandim.Men bu mavzundan xulosa qilib aytsam o’zimga keraklicha xulosa oldim .
  

Foydalanilgan adabiyotlar.

• 
  Gneden ko B.V., Kurs teorii veroyatnostey, 5 izd., M., 1969;
  
• 
  Proxorov Yu.V., Rozanov Yu.A., Teoriya veroyatnostey, 2 izd., M., 1973;
  
• 
  Feller V., Vvedeniye v teoriyu veroyatnostey i yeyo prilojeniye. Per. s ang . 2 izd., M., 1967;
  
• 
  Sarmmsakov T.A., Osnovi teorii protsessov Markova, M.,. 1951;
  
• 
  Sirajiddinov S.X., Predelnme teoremn dlya. odnorodnix sepey Markova., T., 1955;
  
• 
  Sirajiddinov S.X., Azlarov T.A., Zuparov T.M., Additivnme zadachi s rastuvdim chislom slagayemmx, T., 1975.