Kirish i-bob. Matematika fanlarini o’qitishda zamonaviy axborot texnologiyalaridan foydalanish metodikasi

5. Gorner sxemasi va uning amaliy tadbiqlari .
Agar x=α son f(x) ko’phadning ildizi bo’lsa, Bezu teorimasiga asosan f(x) ko’phadning x=α dagi qiymati r=f(α)=0 bo’lar edi. Qoldiqli bo’lish teoremasiga ko’ra f(x)= (x-α) (x)+r tengliklardagi (x) ning koefsentlarini va r qoldiq hadni hissoblashning bir usuli bilan tanishaylik.Buning uchun (x) va r ni nomalum koefsentlar yordamida quyidagicha yozib olamiz:
α₀xⁿ+ α₁x^n-1+…+ α_n-1xⁿ+ α_n=( x-α)(A₀x^n-1+ A₁x^n-2+…+ A_n-2x+ A_n-1)+r.
tengliklarning o’ng tomonidagi qavslarni ochib , ikkita ko’phadning tengligi ta’rifiga asosan , quyidagilarga ega bo’lamiz:
α₀= A₀ , α₁= A₁- α A₀ , α₂= A₂- α A₁, … α_k= A_k- α A_k-1 , … , α_n-1= A_n-1- α A_n-2
α_n=r- α A_n-1.
Bu tengliklardan A_i (i=0,n) larni va r ni quyidagicha aniqlaymiz :
A₀= α₀ , A₁= α₁+ α A₀ , A₂= α₂+ α A₁ , … , A_k= α_k+ α A_k-1 , … , A_n-1= α_n-1+ α A_n-2 ,
r= α_n+ α A_n-1 .
bu hisoblashlarni quyidagi Gorner sxemasi deb ataluvchi sxema yordamida ham bajarish mumkin :

	α0	α1	α2	…	αk	…	αn-1	αn
α	A0	A1	A2	…	Ak	…	An-1	R

Har bir A_k koefsentini topish uchun sxemada uning yuqorisidagi α_k va A_k dan oldin turgan A_k-1 ni α ga ko’paytirib qo’shish kerak.Agar (x) ko’phadni yana biror x-β ikkihadga bolish talab etilsa ,bu sxemani pastga qarab davom ettirish mumkin .Umuman olganda , ko’phadningning karrali ildizlarini topishda ham shu usuldan foydalaniladi.


1-misol . x³+4x²-3x+5 ko`phadni Gorner sxemasidan foydalanib , x-1 ga bo`lishni bajaramiz .

	1	4	-3	5
1	1	5	2	7

Demak, x³+4x²-3x+5 =(x-1)(x²+5x+2)+7.

Bezu teoremasidan P(x) ko`pxadni αx+b ko`rinishidagi ikkihadga bo`lishda hosil bo`ladigan r qoldiq p ga teng bo`lishi kelib chiqadi .
2-misol . P<sub>3</sub>(x)=x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+5x+7 ni 2x+1 ga bo`lishdan hosil bo`lgan qoldiqni toping .
Y e c h i s h . Qoldiq r=P₃ ga teng .
3-misol. X⁵-7x⁴+12x³+16x²-64x+48 ko’phad uchun x=2 necha karrali ildiz ekanligini aniqlang.
Yechish: Bu misol uchun ham yuqoridagi kabi quyidagi sxemani tuzamiz :

	1	-7	12	16	-64	48
2	1	-5	2	20	-24	0
2	1	-3	-4	12	0
2	1	-1	-6	0
2	1	1	-4

Demak ,x=2 uch karrali ildiz bo’lib , berilgan ko’phadni

X⁵-7x⁴+12x³+16x²-64x+48 =(x-2)³(x²-x-6)
Shaklda yozish mumkin .Bu yerda x²-x-6=(x-2)*(x+1)-4.


4-misol. P(x)=x³-3x²mx+n ko’phad (x+2)² ga qoldiqsiz bo’linsa n=? toping.
Yechish p(x)=(x+2)² φ(x) , x=-2 ko’phadning ikki karrali ildizi desak Gorner sxemasini tuzamiz:

	1	-3	m	n
-2	1	-5	10+m	-20-2m+n
-2	1	-7	24-m

Javob: n=68
5-misol. P(x)=ax³+bx²+cx+d ko’phadning ikki karrali bir ildizi x=1 bo’lsa d=?
Yechish: Gorner sxemasidan foydalanamiz .

	a	b	c	d
1	a	a+b	a+b+c	a+b+c+d
1	a	2a+b	3a+2b+c

d=2a+b
Javob: d=2a+b


6. Ko’phadning ildizi, ko’phadning karrali ildizi.
K birlik elementga ega bo`lgan butunlik sohasi bo`lsin .
6.1-Ta’rif. Agar K Butunlik sohasini biror αelementi uchun f(α)=0 tenglik bajarilsa , u holda α element f(x) ko`phadning ildizi deyiladi .
Q maydon ustida bir nomalumli birinchi darajali f(x) = αx+b ko`phad α 0 bo`lganda ratsional sonlar to`plamida doimo ildizga ega , chunki f(- ) = -b+b=0 , yani f(- )=0 bo`ladi .
Darajasi n≥1 bo`lgan har qanday ko`phad ildizilarga ega bo`lgan kengaytama maydon doimo mavjud bo`ladi(Algebraning asosiy teoremasiga ko’ra) .
Nolinchi darajali f(x)= α 0 ko`phadni ildizi yo`q , chunki x ga qanday qiymatni bermaylik , baribir (x)= α 0 bo`ladi . biz nol ko`phadni etiborga olmaymiz , bunday ko`phad x ning har bir qiymatida nolga teng .
1-Teorema . f(x) ko`phadni x- α ikkihadga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng .
Isboti. Bo`luvchi x- α ning darajasi 1 ga teng bo`lgani uchun qoldiq r(x) yo nolinchi darajali ko`phad , yoki nol bo`lishi kerak , yani
f(x)=(x- α)h(x)+r (6.1)
bo`lib , bu tenglikda x= α desak , f(α) =r ni hosil qilamiz .
2-Teorema x= α element f(x) ko`phadning ildizi bo`lishi uchun f(x) ning x- α ikkihadga bo`linishi zarur va yetarli .
Isboti. Zaruriyligi . x= α ni f(x) ning ildizi deylik . bu holda f(α)=0 bo`ladi. 1-Teoremaga asosan f(x) ni x- α ga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng . lekin f(α) =0 bo`lgani uchun r=0 dir demak , f(x) ko`phad x- α ikkihadga qoldiqsiz bo`linadi .
2.Yetarliligi . f(x) ko`phad x- α ga qoldiqsiz bo`linsin :
f(x)=(x- α)h(x) , yani qoldiq r=0 bo`lsin . 1-Teoremaga ko`ra f(α) =r . bunda r=0 bo`lgani uchun f(α)=0 . Demak x= α qiymat f(x) ko`phadning ildizi ekan .
Ta’rif. Agar f(x) ko’phad ^α(x) ko’phadga bo’linib ,lekin ^α+1(x) o’phadga bo’linmasa , u holda (x) ko’phad f(x) ko’phadning karrali ko’paytuvchisi deyiladi . Bu ta’rifga asosan f(x) ko’phadni
f(x)= ^α(x)*g(x) (6.2).
Ko’rinishida yozish mumkin .Bunda g(x) ko’phad (x) ga bo’linmaydi , chunki aks holda g(x)= (x) *h(x) ifodani (6.2) ga qo’yib ushbuni hosil qilamiz:
F(x)= ^α+1(x)*h(x) .Bu esa f(x) ning ^α+1(x) ga bo’linishini ko’rsatadi .
Masalan , f(x)= X⁵+x⁴+x³-x²-x-1 ko’phad uchun (x) =x²+x+1 ko’phad ikki karrali ko’paytuvchidir. Chunki f(x) ko’phad (x²+x+1) ² ga bo’linadi .Lekin (x²+x+1)³ ga bo’linmaydi .Demak , f(x)=(x+x+1)³ (x-1)² bo’ladi.
F(x)= x⁴+2x³+2x² +3x-2
uchun (x)= x³+2x-1 bir karrali ko’paytuvchi , chunki
F(x)= (x³+2x-1) (x+2) .
F(x)=5(x²-4)⁴(2x³+x-1)³ (x+1)(x⁴-3x³+1)⁵
Ko’phad uchun ₁(x) =x²-4 ko’phad to’rt karrali ko’paytuvchi , ₂(x) =2x³+x-1 ko’phad uch karrali ko’paytuvchi , ₃(x) =x+1 bir karrali ko’paytuvchi va ₄(x) =x⁴-3x³+1 ko’phad besh karrali ko’paytuvchi ekanligi ravshan.
Teorema. Agar keltirilmaydigan p(x) ko’phad f(x) ko’phad uchun α karrali ko’paytuvchi bo’lsa ‚ uning f^׀(x) hosilasi uchun p(x) ko’phad α-1 karrali ko’paytuvchi bo’ladi.
Isboti. Tarifga ko’ra f(x)=p^α(x)g(x) bo’lib, bunda g(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi. Endi f(x) ning hosilasini olamiz:

Qavslar ichidagi yigindi p(x) ga bo’linmaydi . Haqiqatan, bu yigindini h(x) bilan belgilasak,

Tenglik hosil bo’ladi. va g(h) ayrim –ayrim p(x) ga bo’linmagani uchun ko’phad ko’paytmasi ham p(x) ga bo’linmaydi. O’ng tomondagi yig’indining - qo’shiluvchisi p(x) ga bo’linadi, agar qo’shiluvchisi ham p(x) ga bo’linsa, tenglikning o’ng tomoni , va chap tomoni ham p(x) ga bo’linar edi. Shunday qilib ,h(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi va tenglik teoremani isbotlaydi. Bu teoremadan f(x) ning bir karralip(x) ko’paytuvchisi hosila uchun ko’paytuvchi emasligini ko’ramiz.
1-misol. P(x)=x⁴-3mx³+nx+p ko’phadning bir bo’luvchisi (x-3)³ bo’lsa , m ni toping.
Yechish. Ko’phadning x=3 uch karrali ildizi.
Gorner sxemasini tuzamiz.

	1	-3m	0	n		p
3	1	3-3m	9-9m	27-2m+n		81-81m+3n+p
3	1	6-3m	27-18m	81-54m
3	1	9-3m	54-27m

Oxirgi ifodadan 54-27m=0 ekanligi kelib chiqadi, demak, m=2

Javob: m=2.


2-misol. P(x)=x³-3x²+mx+n ko’phadi (x+2)² ga qoldiqsiz bo’linsa, n ni toping .
Yechish. Masalaning berilishiga ko’ra, P(x)=(x+2)² (x) o’rinli bo’ladi. x=-2 ildiz ko’phadning ikki karrali ildizi, demak, Gorner sxemasi tuzamiz.

	1	-3	m	n
-2	1	-5	10+m	-20-2m+n
-2	1	-7	24-m

Bunga ko’ra,

natijaga ega bo’lamiz.
Javob: n=68.
3-misol. P(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d ko’phadning 3 karrali bir ildizi x=-1 bo’lsa 3a-b ni toping.
Yechish: P(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d ko’phadning 3 karrali bir ildizi demak, Gorner sxemasi tuzamiz.

	1	a	b	c		d
-1	1	a-1	1-a+b	a-b-1+c		b-1-c+d
-1	1	a-2	3-2a+b	3a-2b-4+c
-1	1	a-3	6-3a+b

6-3a+b=0 3a-b=6

Javob: 3a-b=6.
4-misol. P(x)=2x³-15x²+36x+n ko’phad (x-n)² ga bo’linsa, n ning qiymatlar yig’indisini toping.
Yechish: x=n p(x) ning 2 karrali ildizi ekan. Gorner sxemasi tuzamiz.

	2	-15	36	n
n	2	2n-15	2n^2-15n+36	2n^3-15n^2+37n
n	2	4n-15	6n^2-30n+36

6n²-30n+36=0 n²-5n+6=0 n₁+n₂=5

Javob: 5.
5-misol. P(x)=ax³+bx²+cx+d ko’phadning ikki karrali bir ildizi x=1 bo’lsa d=? toping.
Yechish: Gorner sxemasi tuzamiz.

	a	b	c	d
1	a	a+b	a+b+c	A+b+c+d
1	a	2a+b	3a+2b+c

d=2a+b
Javob: d=2a+b.

6-misol. P(x)=x³-5x²+mx+n ko’phadning bir ko’paytuvchisi (x-3)² bo’lsa m=? ni toping.


Yechish: Gorner sxemasi tuzamiz.

	1	-5	m	n
3	1	-2	-6+m	3m+n-18
3	1	1	-3+m

-3+m=0, m=3

Javob: m=3.