Kesishuvchi kuchlar sistemasini analetik usulda qo'shish reja

KESISHUVCHI KUCHLAR SISTEMASINI ANALETIK USULDA QO'SHISH
REJA:

1. 
   Kesishuvchi kuchlar sistemasining analitik muvozanat shartlari
   
2. 
   Kesishuvchi kuchlar sistemasining geometrik muvozanat sharti
   
3. 
   Kesishuvchi kuchlarni geometrik qo‘shishda parallelogramm yoki uchburchak usuli
   

Ta’sir chiziqlari fazo (tekislik)da bir nuqtada tutashuvchi kuchlar to'planti fazo (tekislik)dagi kesishuvchi kuchlar sistemasi deb ataladi.

Kesishuvchi kuchlarni geometrik qo‘shishda parallelogramm yoki uchburchak usuli ketma-ket qoilaniladi (27-rasm, a, b, d).
27-rasm, a da kohinib turibdiki:
R_l2 '= F' + F.
Ri,2,3 = Ri.2 + Fi = F\ + Fi + F₂,
R = R\,2 „-] + F„ = F\ + h + - + F_V +■■■+ F„ yoki R = f_jF_v.
i
27-rasm, b dan ko'ramizki, kesishuvchi kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi mazkur kuchlar geometrik yigindisiga teng boiib, u shu kuchlardan tuzilgan ko‘pburchak yopuvchisidan iborat.Bunday kuchlar muvozanatlashganda kuch ko'pburchagi yo-
piq boiadi, ya'ni F„ kuchning uchi f kuch boshi bilan ustma-ust tushadi ( 27-rasm, dy.
R = tr_v =o.



b
27-rasm.

Faraz qilaylik, F kuch bilan / ckq bir tekislikda yotsin. Bu hol- da kuchning boshi A va oxiri B nuqtalaridan / o‘qqa tushirilgan proyeksiyalar A_l va B_] orasidagi kesmaning mos ishorali uzunligi kuchning l o ‘qdagi proyeksiyasi deyiladi (28-rasm).

Agar A_] nuqtadan B_t nuqtaga ko‘chish / o'qning musbat ;yo‘na- lishi bilan ustma-ust tushsa, kuchning o'qdagi proyeksiyasi musbat, aks holda manfiy qiymatlarga ega boiadi (28-rasm, a, b).
F kuchning / o'qidagi proyeksiyasini /ybilan belgilasak:

a = 0 bo‘lsa, /_; = /; a = 180° bolsa, F_! = — F\ a = 90° bo'lsa, F,= 0 boMadi.

3. 
   dan ko’ramizki, kuchning biror o'qdagi proyeksiyasi kuchning miqdori hamda kuchning shu o^lq musbat yo‘nalishi bilan hosil qil- gan burchak kosinusining ko'payt- masiga tcng.
   

Demak, kuch chqning musbat yo‘nalishi bilan o‘tkir burchak ho­sil qilsa, uning proyeksiyasi mus­bat; agar o'tmas burchak tashkil etsa, manfiy bo'ladi.
Faraz qilaylik. F kuch x (yoki y) o‘q bilan bir tekislikda yotmasin.
Bu holda F kuchni avval Oxy tekisligiga proyeksiyalaymiz. Buning uchun F kuchning boshi A va oxiridagi B nuqtadan Oxy tekislikka per- pendikular AA_] va BB_{ chiziqlarni o'tkazamiz. U holda 4,/i^/yvektori rnazkur kuchning Oxy tckislikdagi proyeksiyasi deb ataladi (29-rasm).
Agar F kuchning Oxy tckisligi bilan tashkil qilgan burchagi 0 ga teng boisa, 29-rasmdan quyidagini olamiz:
F_y = FcosG (6.4)
Agar F_u ma’lum bo'lsa, u holda F kuchning Ox, Oy, Oz o'qla- ridagi proyeksiyalari quyidagicha aniqlanadi;
F = F coscp = FcosGcoscp,
F = / ysincp — FcosGsirup, (6.5)
F = Fcos(90° — 0) = FsinO

7. 
   §. Kcsishuvchi kuchlarni analitik usulda qo‘shish va ularning analitik muvozanat sharti
   

Faraz qilaylik, jismga 0 nuqtada kesishuvchi kuchlar ta’sir qilsin (30-rasm, a,b).
(F_l ,F₂ F_n ) kuchlarni yuqoridagilarga asoslanib, Ox, Oy, Oz
o'qlariga proyeksiyalaymiz. Natijada rnazkur o‘qlar bo‘ylab joylash- gan kuchlar hosil bo‘ladi. Bir to‘g‘ri chiziq bo'ylab yo‘nalgan kuch­lar algebraik qo shilgani uchun;
F\x ⁺ Fix + — + F'_nx = ^F_VX = R_x ,
i=i
Fly + F,_y + ... + F_ny ~YjF,y
V = \
A I


30-rasm.

F\, + + ...+ F_n: - Yj F_v. - R..

r = l
Endi R_x, R_v, R. larni parallelogramm usuli bo'yicha qoAhsak (30-rasm, by.
R = _N R' + R; + R
kelib chiqadi.
Teng ta’sir etuvchi R ning yo'naltiruvchi kosinuslari:
cos(R^J ) - —; cos( R"',j ) - —: cos( R" ,k) = —,
R ^J R R
bu yerda / - mos ravishda Ox, Oy, Oz o'qlarining birlik vek-
torlari.
Kcsishuvchi kuchlar ta’siridagi jism nuivozanatda bo'lishi uchun R= 0 shart bajarilishi kerak:
R = _N R; + R; + R: = 0 .

Jismning biror o‘q atrofidagi ayianma harakatini kuchning o'qqa nisbatan momenti xarakterlavdi.

Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi ta’siridagi jismning muvozanatiga doir masalalarni yechishda kuchning o'qqa nisbatan momenti tushunchasi kiritiladi.
Kuchning o‘qqa nisbatan momenti deb, kuchning o'qqa perpendi- kular qilib olingan tekislikdagi proveksiyasidan o'q bilan tekislikning kesishgan nuqtasiga nisbatan olingan momentiga aytiladi (33-rasm).
Kuchning o'qqa nisbatan momentining matcmatik ifodasi
m,{F) = m(](Fxv ) = ±FXV h
formula bilan ifodalanadi.
Agar x, y, z. bilan kuch qo'vilgan A nuqtaning koordinatalarini: i\, Fv, F_ orqali F kuchning koordinata o'qlariga proyeksiyalarini belgilasak (34-rasm), u holda kuchning o'qqa nisbatan momentining analitik ifodasi quyidagicha bo'ladi: 
my(F) = yF.~ zFy, mr(F) = zFx ~ xF, mXF) = xF — yFx.
Agar kuchning ta’sir chizig'i o‘qqa parallel yoki o‘qni kesib o‘tsa, uning mazkur ckqqa nisbatan momenti nolga teng bo‘ladi.
10- §. Kesishuvchi kuchlar uchun Varinon teoremasi
Teorema. Kesishuvchi kuchlar teng ta 'sir etuvchisidan hiror nuq- taga nisbatan olingan moment uning tuzuvchi kuchlaridan mazkur nuqtaga nisbatan olingan momentlarning algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni:
m, {R) = Yjm^{Fv).
i-i
Faraz qilaylik, fj ,F2 Fn kuchlar A
nuqtaga qo'yilgan bo'lib, ularning teng ta’-
sir etuvchisi R boisin (35-rasm).
R = F, +F2 + ... + £ = £FV . (10.2)
V — I
Kuchlar qo‘yilgan A nuqtani moment markazi Obilan tutashtirib, OA ga perpen- dikular Ox o‘qni o'tkazamiz. Ox o'qning 35-rasm.
musbat yo'nalishini shunday tanlab olamiz-
ki, ixtiyoriy kuchning mazkur o‘qdagi proyeksiyasining ishorasi shu kuchning O markazga nisbatan olingan momenti ishorasi bilan bir xilda bo‘lsin.
Kuch momentining uchinchi xususiyatidan foydalanib, kuchlar- ning O nuqtaga nisbatan momentini aniqlaymiz:
Fj) — |. w()( f2 ) — 2Sa0AB: , ..., int)( Fn ) - ~^\OABH ■
35- rasmdan: m2 (F{) = OA Obx = OA ■ FXx ■ (10.3)
(10.2) tenglikni Ox o‘qiga proyeksiyalasak:
=1^, • (10.4)
(10.4) ning ikki tomonini OA ga ko'paytiramiz:
OA Rx =Y,0A fv.v • 
(10.3) ga asosan:
m0(R) = £ »*,(/■; )•
Demak, kesishuvchi kuchlar uchun Varinon teoremasi isbotlandi
Yuqoridagi 6-mavzuda kuchning nuqtaga nisbatan momentini algebraik miqdor (kattalik), ya'ni u kuch miqdori bilan yelkasi uzunligining ko‘paytmasidan iborat deb qaragan edik. Lekin jismga ta'sir qilayotgan kuch fazoda joylashgan bo Isa, mazkur kuch mo-mentining moduli va ishorasi jismning avlanma harakatini to liq xa- rakterlay olmaydi. Shuning uchun kuchning nuqtaga nisbatan mo- metining vektori tushunchasi kiritiladi.
Kuchning nuqtaga nisbatan mo- menti vektorini ikkita vektorning vektor ko'paytmasidan iborat deb qarash mumkin. Buning uchun mo-ment markazi O nuqtani sanoq sis- tcmasining boshi desak, r kuch qo'vilgan A nuqtaning radius-vekto- ri bo'ladi (36-rasm).
AOAB dan:
h = r ■ sin(r\F). (11.1)
( F ) - r ■ F ■ sin( r \F) yoki A/(l = m{) ( F) = r x F . (11.2)
Demak, kuchning nuqtaga nisbatan momenti vektor miqdor bo'lib, u kuch qo'yilgan nuqtaning radius-vektori bilan kuchning vektor ko'paytmasiga teng bo'lib, u kuch va moment markazi orqali hosil qilingan uchburchak yuziga perpendikular vo'naladi.
Kuchning nuqtaga nisbatan momenti vektorining yo'nalishi shunday qo'yiladiki, uning uchidan turib qaralganda kuch jismni soat strelkasiga qarshi aylantirayotgan bolishi kerak.
(11.2) dan foydalanib, A/(l ni analitik hisoblash mumkin. Ox, Oy, Oz o'qlarining birlik vektorlarini i, /. k, F ; kuch proyeksiyala-
rini FX,FX,F.\ r ning proyeksiyalarini .v, y, z: A/0 nine proyeksiya- larini esa A/0v, MiU. M{). desak:
F - Fxi + Fvj ~ F,k. 
r --- xi + yj + zk,
M, - M0xi + M0yj + M0zk . Vektorlar algebrasiga ko'ra:
i j k x y z
F F F
X 1 V z
bundan
M0x = yk\ - zFy ,
M0y = zFx - xF:,
M0: = xF. - yFx
kelib chiqadi.
(11.4) dan foydalanib M{) modulini va yo'naltiruvchi kosinuslari- ni quyidagicha aniqlash mumkin:
A/0 = + Myu, + A/(j, , (11-5)
cos(M^J ) = M[jx/M0,
cos( M0~,j) = M0y/M0, (11.6)
cos (M()~,k) = M0:/M0.
(9.2) bilan (11.4) ni taqqoslash natijasida nuqtaga nisbatan kuch momentining biror o'qdagi proyeksiyasi mazkur kuchning shu o'qqa nisbatan momentiga tengligini ko'ramiz.
7 Nazorat savollari *
1. Kuchning nuqtaga nisbatan momenti deb nimaga aytiladi? Maz-kur momentning ishorasi qanday tanlanadi?
2. Qanday holda kuchning nuqtaga nisbatan momenti nolga teng bo'ladi?
3. Kuchning o'z ta'sir chizig'i bo'ylab ko'chirilganda uning momenti qanday o'zgaradi?
4. Kuchning o'qqa nisbatan momenti deb nimaga aytiladi?
5. Qanday holda kuchning o‘qqa nisbatan momenti nolga teng bo'ladi?
6. Nuqtaga nisbatan kuch momenti bilan o'qqa nisbatan kuch mo-menti orasida qanday munosabat bor? 
7. Nuqtaga nisbatan kuch momentining vektorligini tushuntirib be¬ring.
8. O'qqa nisbatan kuch momentining analitik ifodasi qanday yoziladi?
9. Varinon teoremasini ta'riflang.