Kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimi mavzusida bajarilgan magistrlik dissertatsiyasi

Ta’rif.Quyidagi

funksiya deyiladi .
Teorema Agar f(x)ϵL bo’lsa,u holda f(x)funksiyaning Fure almashtirishi F( )=Vf(x)butun sonlar o’qida uzluksiz chegaralangan bo’ladi va
Munosabatlarni qanoatlantiradi
Xossalari:
1.xossa. Chiziqlilik xossasi: Agar

bo’lsa, u holda

o’rinli.
2.xossa: Bir jinslilik xossasi.
3.xossa: Agar bo’lsa, u holda .
4.xossa: Agar bo’lsa u holda:
a)
b)
5.xossa.Agar bo’lsa u holda bo’ladi.
5.1xossa. Agar bo’lsa u holda,

bo’ladi.
6.xossa. O’zaro bir qiymatlilik xossasi.Furening kosinus va sinus almashtirishlari uchun o’zaro bir qiymatlilik xossasini keltirib o’tamiz.
Agar
Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida Laplas integral almashtirishi va uning xossalari keltirilgan.
Laplas to’g’ri almashtirishi
,t>0 (2.2.1).
Laplas teskari almashtirishi
f(t)= dp (2.2.2).
Agar p parametrning qiymati uchun integral yaqinlashuvchi bo’lsa,f(t) funksiya Laplas integral almashtirishini qo’llash mumkin.f(t) funksiyaga original deyiladi ,agar u quyidagi xossalarga ega bo’lsa:
1.f(t) funksiya 0≤t< o’qida aniqlangan va chekli oraliqda absalut qiymati bilan integrallanuvchi.
2.t<0 da f(t) funksiya nolga teng
3.p parametrning hech bo’lmaganda bitta qiymatida f(t) funksiyaga Laplas almashtirishini qo’llash mumkin.F(p) funksiyaga f(t) funksiyaning Laplas integral almashtirishlari bo’yicha tasviri deyiladi.
Laplas integral almashtirishlarining asosiy xossalari
1.Chiziqlilik xossasi.
F(p)= (2.2.3)
2.Erkli o’zgaruvchining masshtabini o’zgartirish.
f(t) F(p) bo’lsin,o’zgarmas bo’lganda f( ning tasviri
f( (2.2.4)
3.Quvvat spektri
f(
integralning tasviri f(t) bo’lsa,u holda
(2.2.5)
Dissertatsiyaning uchinchi bobi sohaning kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimini topish,isbotlash,o’rinli ekanligini ko’rsatish masalasiga bag’ishlangan.
Uchinchi bobning birinchi paragrafida fundamental yechim tushunchasi o’rganilgan.
Qandaydir fizik jarayonni to’liq ko’rinishda o’rganish uchun, bu jarayonni ifodalayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang’ich holatini va jarayon sodir bo’layotgan sohaning chegarasidagi holatini keltirish lozimdir.
Bu ma’lumot matematik jihatdan differensial tenglamalar yechimining yagona emasligi bilan tushintiriladi.
n-tartibli
quyidagi tenglamaning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liqdir, ya’ni
Differensial tenglamalar uchun uch tipdagi masalalar bir-biridan farq qiladi.
1) Koshi masalasi. Bu masala giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi. G sohada butun fazo bilan ustma-ust tushadi, bu holda chegaraviy shartlar bo’lmaydi.
2) Chegaraviy masala.Bu masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi.S da chegaraviy shartlar ko’rsatiladi, boshlang’ich shartlar bo’lmaydi.
3) Aralash masala. giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun ko’rsatiladi. ga ko’ra boshlang’ich va chegaraviy shartlar beriladi.
Uchinchi bobning ikkinchi paragrafida bir jinsli bo’lmagan differiensial tenglama uchun Koshi masalasining yechimi keltirib chiqarilgan,klassik yechim bo’lishi ko’rsatilgan. Bir jinsli bo‘lmagan kasr tartibli Koshi masalasi berilgan bo‘lsin
(3.2.1)
(1) tenglamaning yechimi mavjud deb faraz qilamiz va uning mavjudligini ko‘rsatamiz. Buning uchun Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosila uchun va limitlarni mavjudligini ko‘rsatamiz.
1)
(3.2.2)
Yuqoridagi integral regulyarizatsilangan integral bo’lganligi uchun to’g’ridan to’g’ri limitga o‘tilgan.
2)
(3.2.3)
(3.2.3) ifodadan ko‘ramizki da klassik hosilani berar ekan.
Bu yerda
- Adamr yadrosi,
– Dirakning deltasi
, ,
Koshi masalasi (3.2.1) ni yechish 2 ta holatda qarab chiqiladi:
holatda (3.2.2) ifodani (1) qo‘ysak
bundan esa
(3.2.4)
yechim hosil bo’ladi.
2. holat uchun (3.2.3) ifodani (1) ga qo‘ysak
(3.2.5)
(3.2.5) tenglama Klassik ma’nodagi bir jinsli bo’lmagan Koshi masalasi bilan bir xil ko’rinishga kelib qoldi. Bu tenglamani Laplas almashtirishi yordamida yechilsa quyidagi yechim hosil bo‘ladi
(3.2.6)
Yuqorida biz va bo‘lgan ikkita holatda (3.2.1) bir jinsli bo‘lmagan kasr tartibli Koshi masalasining yechimini qarab chiqdik.
Keyingi navbatda esa (3.2.1) bir jinsli bo‘lmagan kasr tartibli Koshi masalasining umumiy yechimini topish ketma – ketligini qarab chiqamiz. Buning uchun Laplas almashtirishlaridan foydalanamiz.
ning Laplas almashtirishi:
(3.2.7)
ning Laplas almashtirishi:
(3.2.8)
shartlarga ko’ra
(3.2.9)
(3.2.9) ifodaga ko‘ra (3.2.8) ifoda quyidagi ko‘rinishga keladi:
(3.2.10)
(3.2.10) Laplas almashitirishidan kelib chiqib ning Laplas almashtirishini yozamiz
: (3.2.11)
Yuqoridagi Laplas almashtirishlarini (3.2.1) tenglamaga qo‘yamiz
(3.2.12)
Bu yerdan
(3.2.13)
ifoda hosil qilamiz va teskari Laplas almashtirishini qo’llaymiz.
- teskari Laplas almashtirishi. (3.2.14)
Bu yerda – ikki parametrliMittag Lefler funksiyasi
(3.2.14) ga ko‘ra


Yuqoridagi teskari Laplas almashtirishlariga ko‘ra hamda (3.2.13) yechim quyidagi ko‘rinishga keladi:
(3.2.15)

1. 
   
   
2. 
   xossalarga ko‘ra
   

(3.2.16)
yechim hosil bo‘ladi.
Uchinchi bobning uchinchi paragrafida Kasr tartibli diffuziya tenglamasining yechimi keltirib chiqarilgan va bu yechimning klassik yechim bo’lishi isbotlangan.
(3.2.1) Koshi (1) masalasi.
y(x)=y₀ + Koshi (3.2.1) masalasi yechimi.
Kasr tartibli diffuziya tenglamasining fundamental yechimini Koshining (1)masalasi yechimi yordamida keltirib chiqaramiz.
Quyidagi masala qo’yilgan:
(3.3.1)
(3.3.1)Tenglamaning yechimini topishda Fur’e integral almashtirishlaridan foydalanamiz.
f funksiyaning R dagi Fur’e almashtirishi
F[f]=F[f(x)]( ko’rinishida bo’ladi.
Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosila uchun Fur’e integral almashtirishini qo’llaymiz:
F
U_xx ni ham Fur’e integral almashtirishi orqali ifodalaymiz:
F[U_xx]= dx= =
= U_x 0+ dU= = )=-
(Bu yechimga kelishda bo’laklab integrallash formulasidan,
tengliklaridan foydalandik.)
F[f(x,t)] ( )= (
Hosil bo’lgan ifodalarni (3.3.1) tenglamaga qo’ysak,bu tenglik quyidagi ko’rinishni oladi:
(3.3.2)
Tenglamaning bu ko’rinishi Koshining (3.2.1) masalasiga mos keladi:
(3.2.1)
(9) tenglamaning yechimini topish uchun Koshining (3.2.1) masalasi yechimidan foydalanamiz.
y(x)=y₀ + ifoda (3.2.1) tenglama yechimi hisoblanadi.
Bunga ko’ra tenglama yechimini keltiramiz:

Bu tenglikka ko’ra (3.3.1)
(3.3.1)tenglama yechimiga erishish uchun teskari Furye almashtirishidan foydalanamiz.
f(x) funksiyaning teskari Furye almashtirishi quyidagi integralga aytiladi:
F^-1[
Demak :
U=F^-1[ (3.3.3)
Tenglikdagi ning o’rniga ifodani qo’ysak (3.3.4) ko’rinishidagi kasr tartibli diffuziya tenglamasining fundamental yechimiga ega bo’lamiz:
U(x,t)=
(3.3.4)tenglik (3.3.1) tenglamaning yechimi hisoblanadi.