Kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimi mavzusida bajarilgan magistrlik dissertatsiyasi

I BOB KASR TARTIBLI HOSILALAR
1.1-§ Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosila
Kasr tartibli integro differiensial operatorlari yordamida matematik tahlil qilish uch asrdan ko’proq tarixga egadir.Lopital va Leybnist o’rtasidagi yozishmalarda birinchi marta butun sonli bo’lmagan hosilalar haqida so’z boradi.Ularning 1695-yildagi oxirgi maktubida ular ½ tartibli differentsialning imkoniyatlarini muhokama qilib,bashoratga aylangan so’zlarni yozgan:”… Ushbu paradoksdan vaqt o’tib foydali natijalar oxir-oqibat kelib chiqadi”.
Butun 19-asr va 20-asrning birinchi yarmi matematik tahlilning mustaqil bo’limi sifatida natijalarni to’plash va kasr hisobini shakllantirish davriga aylandi.Shu bilan birga,bunda fiziklar va matematiklarning ilmiy ishlari nashrlari paydo bo’ldi:Laplas,Furye,Riemann,Abel,Lyuvil,Grunvald,Xivisayd,Kuryant va boshqalar.Mashhur rus matematigi A.V.Letnikov kasr tartibli matematik tahlini rivojlantirishga katta xissa qo’shdi.A.V.Letnikovning kasr tartibli hisoblash bo’yicha birinchi ilmiy maqolalari 1868-1872-yillarga to’g’ri keladi.
Ilmiy jamoatchilikning kasr tartibli hisoblashga bo’lgan qiziqishing yangi to’lqini 1974-yilda “Kasr tartibli hisoblash”(K.B.Oldham,J.Spanier)kitobi nashr etilgandan so’ng paydo bo’ldi.Ushbu kitobda kasr tartibli hisoblash nazariyasi tizimli ravishda keltirilgan,shuningdek,uni qo’llash sohalari muhokama qilingan.
Shu vaqtdan boshlab turli xil jurnallarning tematik sonlari paydo bo’la boshladi,ular ilm-fan,texnika,tabiatshunoslikning turli sohalarida kasr tartibli hisobni qo’llashga bag’ishlangan.
Kasr tartibli matematik tahlilda ko’pincha keng tarqalgan va klassik matematik tahlilda qo’llaniladigan funsiyalar,xususan,eksponent funksiya va faktoriallarning umumlashtirilishi mavjud.Ushbu funksiyalarni ko’rib chiqishni ularni taqqoslash bilan boshlaymiz.
Eylerning Gamma funksiyasi
Gamma funksiyani quyidagicha aniqlash mumkin:
(x)= (1.1.1)
Gamma funksiyaning argumenti sifatida istalgan sonlardan foydalanish mumkin.Musbat butun x=n uchun gamma funksiyasi quyidagicha bog’liq:
Г(n)=(n-1)!,n>0 (1.1.2)
(1.1.2)formulani quyidagicha keltirib chiqarish mumkin:
Г(x+1)= =- +x =x =xГ(x)
Г(1)=1 ;
Г(2)=Г(1+1)=1Г(1)=1;
Г(3)=Г(2+1)=2Г(2)=2
Г(4)=Г(3+1)=3Г(3)=6
…………………….
Г(n)=(n-1)!
Gamma funksiya uchun quyidagi formula ham o’rinli:
Г(p) Г(1-p)=
Bundantashqari,Gammafunksiyabilanbirqatorda,ubilanchambarchasbog’liqfunksiyalardan ham foydalaniladi.Xususan,buto’liqbo’lmaganGamma-funksiya,BetafunksiyavaPsi-funksiyalardir:
To’liq bo’lmagan Gamma funksiya quyidagicha aniqlanadi:
(1.1.3)
Beta funksiya esa gamma funksiya bo’yicha quyidagi tarzda ifodalanadi:
= (1.1.4)
Psi funksiyasi gamma funksiyasi orqali quyidagicha ifodalanadi:
(x)= (1.1.5)