Kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimi mavzusida bajarilgan magistrlik dissertatsiyasi

3.2-§ Bir jinsli bo‘lmagan kasr tartibli Koshi masalasi
Dissertatsiya mavzumizning asosiy masalasi bo’lgan Kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimini topish uchun bir jinsli bo’lmagan kasr tartibli Koshi masalasining yechimini keltitirib chiqaramiz.
Bir jinsli bo‘lmagan kasr tartibli Koshi masalasi berilgan bo‘lsin
(3.2.1)
(1) tenglamaning yechimi mavjud deb faraz qilamiz va uning mavjudligini ko‘rsatamiz. Buning uchun Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosila uchun va limitlarni mavjudligini ko‘rsatamiz.
1)
(3.2.2)
Yuqoridagi integral regulyarizatsilangan integral bo’lganligi uchun to’g’ridan to’g’ri limitga o‘tilgan.
2)
(3.2.3)
(3.2.3) ifodadan ko‘ramizki da klassik hosilani berar ekan.
Bu yerda
- Adamr yadrosi,
– Dirakning deltasi
, ,
Koshi masalasi (3.2.1) ni yechish 2 ta holatda qarab chiqiladi:
holatda (3.2.2) ifodani (1) qo‘ysak
bundan esa
(3.2.4)
yechim hosil bo’ladi.
2. holat uchun (3.2.3) ifodani (1) ga qo‘ysak
(3.2.5)
(3.2.5) tenglama Klassik ma’nodagi bir jinsli bo’lmagan Koshi masalasi bilan bir xil ko’rinishga kelib qoldi. Bu tenglamani Laplas almashtirishi yordamida yechilsa quyidagi yechim hosil bo‘ladi
(3.2.6)
Yuqorida biz va bo‘lgan ikkita holatda (3.2.1) bir jinsli bo‘lmagan kasr tartibli Koshi masalasining yechimini qarab chiqdik.
Keyingi navbatda esa (3.2.1) bir jinsli bo‘lmagan kasr tartibli Koshi masalasining umumiy yechimini topish ketma – ketligini qarab chiqamiz. Buning uchun Laplas almashtirishlaridan foydalanamiz.
ning Laplas almashtirishi:
(3.2.7)
ning Laplas almashtirishi:
(3.2.8)
shartlarga ko’ra
(3.2.9)
(3.2.9) ifodaga ko‘ra (3.2.8) ifoda quyidagi ko‘rinishga keladi:
(3.2.10)
(3.2.10) Laplas almashitirishidan kelib chiqib ning Laplas almashtirishini yozamiz
: (3.2.11)
Yuqoridagi Laplas almashtirishlarini (3.2.1) tenglamaga qo‘yamiz
(3.2.12)
Bu yerdan
(3.2.13)
ifoda hosil qilamiz va teskari Laplas almashtirishini almashtirishlarini qo’llaymiz.
- Teskari Laplas almashtirishi. (3.2.14)
Bu yerda – Mittag Lefler funksiyasi
(3.2.14) ga ko‘ra


Yuqoridagi teskari Laplas almashtirishlariga ko‘ra hamda (3.2.13) yechim quyidagi ko‘rinishga keladi:
(3.2.15)

3. 
   
   
4. 
   xossalarga ko‘ra
   

(3.2.16)
yechim hosil bo‘ladi.
Keyingi navbatda (3.2.16) yechimning klassik yechim ekanligini ko‘rsatishimiz kerak. Buning uchun (3.2.4) va (3.2.6) yechimlarni (3.2.16) yechim bilan ustma ust tushishini ko‘rsatishimiz kerak bo‘ladi.
Birinchi navbatda (3.2.16) yechimni Mittag Lefler funksiyasini qo‘llagan holda soddalashtirib olamiz.






)

Yuqorida da yechimning klassik yechim ekanligini ko‘rsatdik.

Keyingi navbatda esa da yechimning klassik yechim bo‘lishini ko‘rsatib o‘tamiz:
da Koshi masalasi:

Tenglamani yechish uchun Laplas almashtirishlarini bajarib olamiz:




Bu yerda teskari Laplas almashtirishi.




Tenglama yechimi 1-tartibli hosila uchun Koshi maslasining klassik yechimi bo‘lishi kelib chiqdi.