Kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimi mavzusida bajarilgan magistrlik dissertatsiyasi

3.3-§ Kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimi
(3.2.1) Koshi (1) masalasi.
y(x)=y₀ + Koshi (3.2.1) masalasi yechimi.
Kasr tartibli diffuziya tenglamasining fundamental yechimini Koshining (1)masalasi yechimi yordamida keltirib chiqaramiz.
Quyidagi masala qo’yilgan:
(3.3.1)
(3.3.1)Tenglamaning yechimini topishda Fur’e integral almashtirishlaridan foydalanamiz.
f funksiyaning R dagi Fur’e almashtirishi
F[f]=F[f(x)]( ko’rinishida bo’ladi.
Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosila uchun Fur’e integral almashtirishini qo’llaymiz:
F
U_xx ni ham Fur’e integral almashtirishi orqali ifodalaymiz:
F[U_xx]= dx= =
= U_x 0+ dU= = )=-
(Bu yechimga kelishda bo’laklab integrallash formulasidan,
tengliklaridan foydalandik.)
F[f(x,t)] ( )= (
Hosil bo’lgan ifodalarni (3.3.1) tenglamaga qo’ysak,bu tenglik quyidagi ko’rinishni oladi:
(3.3.2)
Tenglamaning bu ko’rinishi Koshining (3.2.1) masalasiga mos keladi: (3.2.1)
(9) tenglamaning yechimini topish uchun Koshining (3.2.1) masalasi yechimidan foydalanamiz.
y(x)=y₀ + ifoda (3.2.1) tenglama yechimi hisoblanadi.
Bunga ko’ra tenglama yechimini keltiramiz:

Bu tenglikka ko’ra (3.3.1)
(3.3.1)tenglama yechimiga erishish uchun teskari Furye almashtirishidan foydalanamiz.
f(x) funksiyaning teskari Furye almashtirishi quyidagi integralga aytiladi:
F^-1[
Demak : U=F^-1[ (3.3.3)
(11)tenglikdagi ning o’rniga (10)ifodani qo’ysak (8)ko’rinishidagi kasr tartibli diffuziya tenglamasining fundamental yechimiga ega bo’lamiz:
U(x,t)=
(3.3.4)tenglik (3.3.1) tenglamaning yechimi hisoblanadi.
Bu yechimning quyidagi (3.3.5)masala uchun o’rinli bo’lishini ko’rib chiqamiz:
(3.3.5)
Bu yerda (x) Dirakning delta funksiyasi:

(R)
(juft funksiya)
(3.3.4) tenglik bo’yicha U(x,0)ni topamiz:
U(x,0)= =
(bu natija ,
ifodalarga ko’ra kelib chiqdi)
(3.3.6)formulaga ko’ra (3.3.4) tenglik bilan ifodalangan yechimning (3.3.5) ko’rinishidagi masala uchun o’rinli ekanligi kelib chiqadi:
U(x,0)=
Bunga ko’ra
(3.3.1)
tenglamaning
U(x,t)= yechimi klassik yechim bo’lishi kelib chiqadi.Demak,tenglamaning bu yechimidan boshqa shu tipdagi fizika-matematika tenglamalari yechishda foydalanish mumkin.