Kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimi mavzusida bajarilgan magistrlik dissertatsiyasi

Mittag-Leffler funksiyasi va uning xossalari
Mittag Lefler funksiyasi cheksiz qator yordamida z kompleks argumentining qiymatlar to’plamida ko’rsatilgan va ikkita parametrlarga bog’liq:
, , (1.2.16) .
Agar bo’lsa,u holda yuqoridagi formula eksponent funksiyasini aniqlaydi
(1.2.17) .
Mittag Lefler funksiyasi butun sonli bo’lmagan tartibli integral-differientsial tenglamalarni yechishda muhim rol o’ynaydi.Ko’pgina maxsus funksiyalarni turli xil parametrlarga ega bo’lgan Mittag Lefler funksiyalari bilan ifodalash mumkin.Bunday funksiyalarga,xususan,giperbolik sinus va cosinus,Miller-Roza,Rabotnov va boshqalarning funksiyalari kiradi.

I BOB YUZASIDAN XULOSA

Dissertatsiya ushbu bobining birinchi paragrafida kasr tartibli hosilalarga ta’rif berilgan.Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosilaning fizik ma’nosi haqida ma’lumot berilgan.
Ikkinchi paragrafida Dirakning delta,Mittag Lefler funksiyasi va ularning xossalari o’rganilgan.Bu funksiyalarni kasr tartibli diferensial tenglamalar uchun ahamiyati ko’rsatilgan.
II BOB INTEGRAL ALMASHTIRISHLAR
Koshi masalasining yechimini keltirish,kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimini topish uchun bir necha bor integral almashtirishlardan foydalanamiz.Shuning uchun bu bobda Fur’e va Laplas integral almashtirishlarini o’rganib chiqamiz.
2.1-§Fur’e almashtirishi
funksiya berilgan bo’lsin.Bu f(x) funksiyani sinfda berilgan va oraliqda integirallanuvchi bo’ladi deb hisoblaymiz. Quyidagilar Fur’e koffitsientlaridir:


f(x) funksiyaning Fur’e qatori bo’yicha yoyilmasi quydagicha:

funksiyalarni quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin

Bunda Eyler formulasidan foydalanildi va trigonametrik funksiya ko’rsatkichli ko’rinishga o’tkazildi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

va

Fur’e qatorini qaytadan yozamiz:


–fure qatorining sodda ko’rinishda yozilishidir.
Fur’e qatorini tekis yaqinlashuvchi bo’ladi deb hisoblaymiz
(2.1.1)
(2.1.1) formula matematik tahli fanidan bizga ma’lumdir.
Chegaralangan



Quyidagiga ega bo’lamiz.
)dx=



=0
Eslatib o’tamiz

Demak ,quyidagiga ega bo’ldik

bundan esa koiftsentlarini quydagicha aniqlab olamiz

L(- )funksiyalar sinfi uchun Fure qatori:

Bu f(x) funksiyani (- ) sinfda berilgan va oraliqda aniqlangan bo’ladi deb hisoblaymiz.
X=u-μ bu yerda u o’zgaruvchi [ ] kesmada o’zgaradi
bu holda g(u)=f(u )=f(x)
Bu f(x) funksiyani sinfda berilgan va oraliqda integirallanuvchi bo’ladi.
g(u) funksiya uchun Fure qatori quyidagicha:
g(u)

=
Demak f(x)funksiya mos keluvchi Fur’e qatori

Ko’rinishida ekan ,bu yerda

(2.1.3) Funksiyaning Fur’e almashtirishi formulasiga olib kelish uchun quyigacha harakat qilamiz.
f(x) L(-πμ,πμ) , μ>0 larga ko’ra:
f(x)=
tenglik bajariladi.
quyidagi f(x)=
formulani hosil qilamiz.Tenglikning o’ng tomonini uning integrali yig’indisi ko’rinishi sifatida qaraymiz.Butun R da aniqlangan
( )=
Funksiyani kiritamiz sonlar o’qini

bo’lgan kesmalarga bo’lamiz.
Undan so’ng

( )
(2.1.3) ifodani har ikkala tomoni ni [ ] kesmaning uzunligiga ko’paytiramiz va k bo’yicha
Demak biz quydagi munosabatga ega bo’ldik .
f(x) =
(1.1.6) ifodani


integralga intiladi tenglikni limitga o’tkazsak bizga Fur’ening integral formulasini beradi .
f(x)
Odatiy usul bilan Fur’ening funksiyasini hosil qildik. Bu amalni limitga o’tish usuli bilan ham bajarishimiz mumkin.
L sinfdan olingan funksiyaning Fur’e almashtirishi.
f (x ) funksiya uchun Fur’e almashtrishining ko’rinishi va aniqlanishi.
Fure’ning integral formulasini quyidagi ko’rinishda yozamiz.
F(x) =
F( funksiyani aniqlaymiz
(2.1.6)
( .2.1) Fur’ening integral formulasi f(x) funksiya yordamida F( funksiyani mos ravishda qo’yishdan hosil bo’lishdi. Fur’e almashtrilishi bilan faqat uning minus darajasiga farq qiladi.
(2.1.7)
(2.1.7) formulaga Fur’e almashtrish formulasi deyiladi.
F( funksiya (2.1.6) formula bilan aniqlanadi va u f(x) funksiyaning Fur’e almashtrilishi deyiladi.
Berilgan funksiyani biz kichik harf bilan, mos ravishda uning Fur’e almashtrilsh katta harf bilan belgilaymiz.
Shunday ekan f (x) funksiya f (x) funksiyaning Fur’e almashtrilishi deyiladi. Bu belgilashlar bilan birga Fur’e almashtrilishini operator ko’rinishi ham keltrib o’tamiz
Fur’e almashtirishning operatori yoki qisqacha Fur’e operatorni V bilan belgilaymiz va
F( (2.1.8)
munosabatga ega bo’lamiz.
(2.1.8) formula Fur’e almashtrishtrishiga teskari almashtirishi deyiladi.f (x) funksiya F ( funksiyaning Fur’e almashtrishiga teskari almashtrish deyiladi. orqali Fur’e almashtirishiga teskari almashtrish operatorini belgilaymiz. Shunday qilib quyidagiga ega bo’ldik.

Fur’ening integral formulasini

ko’rinishida yozipsh mumkin.Eslatib o’tamiz Fur’e operatori chiziqli ya’ni V operatori chiziqlilik xossasini saqlaydi.
V =
bu esa integral xossasidan kelib chiqadi.